Question

Две окружности разных радиусов пересекаются в точках b и d, их центры лежат по разные стороны от прямой bd. через точку b проведены касательные ba и bc к этим окружностям, точки a и c лежат на разных окружностях. известно, что da = 1, dc = 4, угол abc = 60 градусов . найти длину хорды bd и площадь треугольника abc

Answer 1

    Решение задачи (рисунок 1) состоит из нескольких частей
1)Нахождение стороны АС
2)Установление соотношения радиусов окружностей
3)Нахождение S(ABC) и BD
   1)<OBA=<OBC-<ABC=90-60=30 (рисунок 2)
<O1BC=<O1BA-<ABC=90-60-30 (<O1BA и <OBC равны 90-из определения касательной к окружности)
<OBO1=<ODOq=90=30=120
Тогда из суммы углов четырехугольника OBO1D следует что
<BOD+<BO1D=360-28120=120
Обозначу <BOD=x (рисунок 3), тогда <BO1D=120-x
<AOD=120-x и <DO1C=120-x
Найду <ADC чтобы через него найти АС
<ADC=360-<ODO1-<ODA-<O1DC
<ODA=(180-120+x)/2=30+x/2;   <O1DC=(180-x)/2=90-x/2
<ADC=360-120-30-x/2-90+x/2=120
Нахожу АС по т. косинусов из ΔADC:
AC^2=AD^2+AC^2-2*AD*AC*cos120=4^2+1^2-2*4*1*(1/2)=16+1+4=21
AC=√21
     2)Обозначу OD=R и O1D=r, найду соотношение их между собой. Для этого составлю систему из 3 уравнений по т. синусов 
ΔAOD                                     4^2=R^2+R^2-2R^2*cos(120-x)
ΔBO1C                                    1^2=r^2+r^2-2r^2*cosx
четырехугольник OBO1D    R^2+R^2-2R^2*cosx=r^2+r^2-2r^2*cos(120-x)
Решая эту систему нахожу что R=2r
    3) Из ΔAOB по т косинусов AB^2=R^2+r^2-2R^2+cos120=3R^2;   AB=R√3=2r√3
из ΔBO1C аналогично BC=r√3
Подставив в ΔABС выражение АВ и ВС через r, найду его
AC^2=21=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos60=(2r√3)^2+(r√3)^2-2*2r√3*r√3*0.5=
=12r^2+3r^3-6r^2=9r^2;   r^2=21/9=7/3; r=√(7/3); R=2√(7/3)
AB=R√3=2√(7/3)*√3=2√7;  BC=r√3=√(7/3)*√3=√7
S(ABS)=AB*BC*sin60/2=2√7*√7*√3/4=7√3/2≈6
    Для нахождения хорды BD мне нужен cosx, который я вычислю из ΔDO1C
1^2=2(√(7/3)^2)-2*(√(7/3))^2*cosx(т. косинусов); cosx=11/14
Тогда из ΔOBD:  BD^2=2(2√(7/3))^2-2*(2√(7/3))^2*cosx=2*4*7/3(1-11/14)=
=56/3*(3/14)=4
BD=√4=2
               ответ:S(ADC)≈6; BD=2