В ромбе сумма тупого и острого угла равна 180 градусам. Пусть острый угол x, а тупой y, тогда x+y =180 Рассмотрим правый треугольник, образованный двумя половинами сторон ромба и отрезком, соединяющим середины этих сторон. Он равнобедренный, т.к. его боковые стороны равны половине стороны ромба. Тогда сумма углов при основании равна 180 - x = y, а каждый угол равен y/2. Аналогично рассмотрим верхний треугольник, образованный двумя половинами сторон ромба и отрезком, соединяющим середины этих сторон. Он равнобедренной по той же причине, и сумма углов при основании равна 180 - y =x, а каждый угол равен x/2. Тогда угол α, образованный основаниями рассмотренных треугольников образует в сумме с углами x/2 и y/2 развернутый угол, т.е. α+x/2+y/2= 180, но x/2+y/2 = (x+y)/2 = 180/2 = 90, значит, α=180-90 = 90 Аналогично для остальных трех углов. А если у четырехугольника все углы прямые, то он является прямоугольником. (То, что стороны попарно равны, видно из равенства соответствующих треугольников, а т.к. углы прямые, то противоположные стороны параллельны).
Пусть E - середина ребра AC и F - середина ребра DC. Опустим перпендикуляры из точек О и Е на отрезок DC. Оба этих перпендикуляра пересекут DC в одной точке H, т.к. треугольники EHC и OHC равны по гипотенузе и острому углу. Значит, плоскость OEH перпендикулярна DС. При этом EH=OH=BF/2=√3 (Т.к. OH и EH - средние линии треугольников BFC и AFC, и, кроме того, AF=BF=(4√3)/2=2√3). Т.к. OE - cредняя линия треугольника ABC, то OE=AB/2=2. Таким образом, периметр сечения, т.е. треугольника OEH, равен EH+OH+OE=√3+√3+2=2+2√3.
