А1. ответ: 4.
А2. ответ: 4.
А3. ответ: 3.
А4. ответ: 1.
В1. Дано: ΔАВС, АВ = ВС = АС + 5 см, Р = 34 см.
Найти: АВ.
Решение: Пусть АС = х см, тогда АВ = ВС = х + 5,
x + (x + 5) + (x + 5) = 34
3x + 10 = 34
3x = 24
x = 8
АС = 8 см
АВ = ВС = 8 + 5 = 13 см
ответ: боковая сторона 13 см.
В2. Дано: ΔАВС, АВ = АС, АМ - медиана, Pabc = 40 см, Pabm = 33 см.
Найти: АМ.
Pabm = 33 см
АВ + ВМ + АМ = 33
2 · (АВ + ВМ + АМ) = 66
Так как АВ = АС, а ВМ = СМ, то
2АВ + 2ВМ + 2АМ = 66
АВ + АС + ВС + 2АМ = 66
2АМ = 66 - (АВ + АС + ВС) = 66 - Pabc = 66 - 40 = 16
AM = 16/2= 8 см
С1. 1) Если сумма равных сторон равна 26 см, то боковые стороны равны по 13 см, а основание - 10 см.
2) Обозначим боковые стороны а и b, основание - с.
а + с = 26 см
Рabc = 2а + с = 36 см
с = 36 - 2а
с = 26 - а
26 - a = 36 - 2a
a = 10 см
c = 16 см
ответ: 13 см, 13 см, 10 см или 10 см, 10 см, 16 см.
Пирамида правильная. Значит, основанием данной пирамиды является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника.
Апофемой называется высота боковой грани, проведенная из вершины правильного многогранника.
Центр правильного треугольника - точка пересечения его высот, являющихся в правильном треугольнике медианами и биссектрисами.
а)
На рисунке в приложении О - центр основания. СН - высота ( медиана). Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Следовательно, отрезок СО=2/3 высоты СН, отрезок ОН=1/3 высоты СН.
Все углы правильного треугольника равны :180°:3=60°
CН=СВ•sin60°=6•√3/2
CO=6√3/6=√3
ОН перпендикулярна АВ и является проекцией МН на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах МН⊥АВ. =>
МН высота ∆ АМВ, т.е. апофема данной правильной пирамиды.
Высота пирамиды перпендикулярна основанию. => МО⊥СН.
Из прямоугольного ∆МОН по т.Пифагора
МН=√(МО²+НО²)=√(16+3)=√19 (ед. длины)
б)
Все боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. => их площади равны.
S (AMB)=MH•AB:2=√19•6:2=3•√19
S(бок)=3•3√19=9√19 (ед. площади)
