Угол между диагональю боковой грани правильной треугольной призмы и другой боковой гранью равен 30°. найти объём призмы, если сторона её основания равна 6 см.
1) Из ΔАВС: <C=90, <B=30, <A=180-90-30=60. найдем гипотенузу АВ=АС :cos A=1: 1/2=2 катет ВС=√АВ²-АС²=√4-1=√3 Т.к. СD - медиана, то АD=DB=AB/2=2/2=1 2) Рассмотрим Δ ADC, в нем AC=AD=1, значит он равнобедренный и углы при основании равны: <ACD=<ADC=(180-<CAD)/2=(180-60)/2=60. Все 3 угла равны по 60 градусов, значит Δ ADC -равносторонний AC=AD=DC=1 3) Рассмотрим Δ СDВ, в нем CD=DB=1, <DCB=<DBC=30, тогда <CDB=180-30-30=120. 4) Рассмотрим Δ СDF, в нем <CDF=120-<BDF=120-15=105. <CFD=180-<DCB-<CDF=180-30-105=45. По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, значит CD/sin 45 =DF/sin 30=CF/sin 105 DF=CD*sin 30/sin 45=1*1/2 / (√2/2)=1/√2 Площадь ΔCDF S=1/2*СD*DА*sin 105=1/2*1*1/√2*(√6+√2)/4=(√3+1)/8 sin 105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45=√3/2*√2/2+1/2*√2/2=(√6+√2)/4
.Диагональ равнобокой трапеции равна α (альфа) и составляет угол 15° с основанием. Найти площадь трапеции.
Для решения данной задачи нужны в основнои рассуждения. В равнобокой трапеции диагонали равны и каждая составляет с основанием одинаковый угол. Из вершины С проведем параллельно диагонали BD прямую до пересечения с продолжением АD. Обозначим точку пересечения Е. Четырехугольник ВСЕD - параллелограмм, т.к. противоположные стороны параллельны, и СЕ равно BD . Следовательно, DE=ВС, и АЕ - равна сумме оснований. Площадь трапеции АВСD равна половине произведения ее высоты СМ на АЕ - сумму оснований. Площадь равнобедренного треугольника АСЕ равна половине произведения его высоты на АЕ. Высота трапеции и треугольника общая. Площади данной трапеции и площадь получившегося треугольника равны. Опустим из С высоту СМ и отложим на её продолжении отрезок МР, равный СМ. Соединив А и Р, получим равнобедренный треугольник АСР , т.к. треугольники АСМ и АМР равны по двум сторонам и прямому углу при М между ними. В треугольнике АСР угол при вершине А равен 30 градусам ( 15+15). Из С опустим на сторону АР высоту СН. Её длина, как длина катета, противолежащего углу 30 градусов, равна половине АС и равна α/2 S Δ АСР равна АР*СН:2=α·α/4=α²/4 Треугольник АСР равен треугольника СМЕ, и площадь треугольника АСР равна площади треугольнка АСЕ, т.е. равна площади трапеции. ответ: Площадь трапеции равна α²/4
