Question

боковые стороны ab и cd трапеции abcd равны соответственно 8 и 10, а большее основание ad равно 9. найдите площадь трапеции abcd, если известно, что биссектриса угла cda проходит через точку l, которая делит боковое ребро ab в отношении 9: 7, считая от большего основания.

Answer 1

48

Объяснение:

Продолжим боковые стороны трапеции (О - точка пересечения). Пусть OB = a, OC = b. В треугольнике AOD биссектриса делит сторону AO так, что $\frac{AL}{AD} =\frac{OL}{OD} ; \frac{4,5}{9} =\frac{3,5+a}{10+b} \\10+b=2*(3,5+a)\\10+b=7+2a$

Поскольку в треугольнике AOD отрезок BC параллелен основанию AD (как основания трапеции), справедливо равенство:

$\frac{AB}{OB} = \frac{DC}{OC} ; \frac{8}{a} = \frac{10}{b} ; a=0,8*b$

Подставляем полученное выражение в найденное ранее:

$10+b=7+2a\\10+b=7+1,6b\\0,6b=3\\b=5\\a=0,8*5=4$

То есть, ОВ = 4 и ОС = 5. Тогда имеем треугольник AOD со сторонами 9, 12 и 15 см => треугольник прямоугольный (подчиняется теореме Пифагора), и угол между сторонами AD и AB равен 90 градусов, и следовательно угол B также будет прямым.

Основание BC можно найти как катет в прямоугольном треугольнике OBC с катетом 4 и гипотенузой 5, оно будет равно 3 (по теореме Пифагора). В таком случае площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, т.е. $S = \frac{BC+AD}{2} * AB = \frac{3+9}{2} * 8 = 48 CM^2$