Из точки а, не принадлежащей плоскости α , проведены к этой плоскости перпендикуляр ao и две равные наклонные ab и ac. известно , что угол oab равен углу bac и равен 60, ао=1,5 см,. найдите расстояние между основаниями наклонных.
BA = 1,5/cos60=3 BC/sin60=BA/sin угла АСВ 2BC/корень3=3/sin ACB = 2BC*sin ACB= 3 корня из 3 треугольник PAC - прямоугольный sin ACB = PA/PC=PA/2BC За т. Фалеса: PB=BC=BA=3см ответ: 3 см
Поскольку задача "продвинутая", я изложу решение в стиле "для продвинутых". Если описать окружность вокруг треугольника ABC, и продлить AD до пересечения с этой окружностью в точке H1, то DH = DH1; доказать это очень просто, если заметить, что ∠H1BD = ∠H1AC; (оба вписанных угла опираются на дугу H1C) а ∠H1AC = ∠HBD = 90° - ∠C; то есть ∠H1BD = ∠HBD; дальше очевидно. Для хорд BC и AH1 можно записать BD*CD = AD*DH1 = AD*(AD - AH); Если теперь достроить заданную в задаче полуокружность до полной, то BC будет хордой и в ней, и можно записать аналогично BD*CD = MD^2; (ну, диаметр делит перпендикулярную ему хорду пополам) Получилось AD*(AD - AH) = MD^2; или AH = AD*(1 - (MD/AD)^2); число найдите самостоятельно.
Техническая простота решения не должна вводить в заблуждение. На самом деле полученный ответ имеет очень нетривиальную интерпретацию. Дело в том, что AH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника AB1C1 (где B1 и С1 - основания высот BB1 и CC1). Получается, что этот диаметр не зависит от положения точки D на BC, и от величины BC, а только от AD и MD. Слово "только" не совсем точное, поскольку величина BC не является независимой. НО результат необычный.
Поскольку задача "продвинутая", я изложу решение в стиле "для продвинутых". Если описать окружность вокруг треугольника ABC, и продлить AD до пересечения с этой окружностью в точке H1, то DH = DH1; доказать это очень просто, если заметить, что ∠H1BD = ∠H1AC; (оба вписанных угла опираются на дугу H1C) а ∠H1AC = ∠HBD = 90° - ∠C; то есть ∠H1BD = ∠HBD; дальше очевидно. Для хорд BC и AH1 можно записать BD*CD = AD*DH1 = AD*(AD - AH); Если теперь достроить заданную в задаче полуокружность до полной, то BC будет хордой и в ней, и можно записать аналогично BD*CD = MD^2; (ну, диаметр делит перпендикулярную ему хорду пополам) Получилось AD*(AD - AH) = MD^2; или AH = AD*(1 - (MD/AD)^2); число найдите самостоятельно.
Техническая простота решения не должна вводить в заблуждение. На самом деле полученный ответ имеет очень нетривиальную интерпретацию. Дело в том, что AH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника AB1C1 (где B1 и С1 - основания высот BB1 и CC1). Получается, что этот диаметр не зависит от положения точки D на BC, и от величины BC, а только от AD и MD. Слово "только" не совсем точное, поскольку величина BC не является независимой. НО результат необычный.
BC/sin60=BA/sin угла АСВ
2BC/корень3=3/sin ACB = 2BC*sin ACB= 3 корня из 3
треугольник PAC - прямоугольный
sin ACB = PA/PC=PA/2BC
За т. Фалеса:
PB=BC=BA=3см
ответ: 3 см