Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна 10 см. Найти площадь треугольника.
Дано :
a+b+c =48 см ; m_c = 10 см - - - - - - - - - - - - - - -
S - ?
Объяснение: Площадь прямоугольного треугольника :
S =a*b/2 , где a и b катеты треугольника
a + b + c = P , общеизвестно , гипотенуза c = 2m_c = 20 см
* * * Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. * * *
следовательно a + b = 28
По теореме Пифагора : a²+ b² = c²
(a+b)² - 2ab = c² ⇔ ab = ( (a+b)² - c²) /2 ⇔ ab /2 = ( (a+b)² - c²) / 4
S = (28² -20²) /4 =(28 -20)(28+20) /4 =2*48 = 96 (cм)²
Расстояния от точки F(x,y,0) до трёх точек, точнее, квадраты расстояний
r₁² = (x-1)² + (y-1)²
r₂² = x² + (y+1)²
r₃² = (x+1)² + y² + 1²
Все три расстояния равны, как и их квадраты
r₁² = r₂² = r₃² = r²
---
r² = x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1
r² = x² + y² + 2y + 1
r² = x² + 2x + 1 + y² + 1
---
вычтем из первого третье
0 = - 4x - 2y
y = -2x
Подставляем
r² = x² - 2x + 1 + 4x² + 4x + 1
r² = x² + 4x² - 4x + 1
r² = x² + 2x + 1 + 4x² + 1
---
r² = 5x² + 2x + 2
r² = 5x² - 4x + 1
r² = 5x² + 2x + 2
первое и третье дублируют друг друга, что логично, ведь из них мы и выражали y
---
r² = 5x² + 2x + 2
r² = 5x² - 4x + 1
---
вычтем из первого второе
0 = 2x + 2 + 4x - 1
0 = 6x + 1
x = -1/6
y = -2x = 1/3
---
ответ
F (-1/6,1/3,0)