Добрый день! Давайте рассмотрим поставленную задачу по шагам:
а) Для доказательства того, что SH=CD, нам необходимо использовать свойства равнобедренной трапеции ABCD.
1) В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC равны, как указано в условии.
2) Из условия также известно, что BC=2AD (поэтому равные стороны трапеции равны 2AD и AD соответственно).
3) Также известно, что AB = AD = 2SA.
Давайте рассмотрим треугольники SAB и ABC:
В треугольнике SAB:
- Сторона AB равна 2SA
- Сторона SB равна SA
- Сторона SA равна SA
В треугольнике ABC:
- Сторона AB равна 2SA (так как равна стороне AD)
- Сторона BC равна 2AD (по условию)
- Сторона CA равна AD
Поскольку у нас есть стороны треугольников SAB и ABC, равные между собой, а также равные основания трапеции ABCD, мы можем сделать вывод, что треугольники SAB и ABC равны по сторонам SSA.
Теперь давайте рассмотрим треугольники SBC и SCD:
В треугольнике SBC:
- Сторона SB равна SA
- Сторона BC равна 2AD (по условию)
- Сторона SC равна SH (по условию)
В треугольнике SCD:
- Сторона SC равна SH (по условию)
- Сторона CD равна AD (так как является равнобедренной трапецией ABCD)
Из равенства сторон треугольников SBC и SCD мы можем сделать вывод, что SH = CD, что и требовалось доказать.
б) Чтобы найти косинус угла между прямыми CD и SH, мы можем воспользоваться формулой косинусов.
У нас уже есть стороны треугольника SCD: SH и CD, а также сторона SC (равная SH) и угол между прямыми SC и SH, который равен 90 градусов (так как SH является высотой треугольника BSC).
Формула косинусов:
cos(угол между прямыми CD и SH) = (SH^2 + CD^2 - SC^2) / (2 * SH * CD)
Подставим известные значения:
cos(угла между прямыми CD и SH) = (SH^2 + CD^2 - SH^2) / (2 * SH * CD) = CD^2 / (2 * SH * CD) = 1 / (2 * SH)
Таким образом, косинус угла между CD и SH равен 1 / (2 * SH).
Надеюсь, что эти пояснения были понятны и помогли вам разобраться в данной задаче!
1. Векторы равны, если их компоненты равны. Давайте рассмотрим каждую пару векторов:
a) AD−→− и BC−→−:
Вектор AD−→− имеет компоненты (ADx, ADy, ADz), а вектор BC−→− имеет компоненты (BCx, BCy, BCz). Если компоненты этих векторов равны (ADx = BCx, ADy = BCy, ADz = BCz), то векторы AD−→− и BC−→− равны.
b) BC−→− и A1B1−→−−−:
Вектор BC−→− имеет компоненты (BCx, BCy, BCz), а вектор A1B1−→−−− имеет компоненты (A1B1x, A1B1y, A1B1z). Если компоненты этих векторов равны (BCx = A1B1x, BCy = A1B1y, BCz = A1B1z), то векторы BC−→− и A1B1−→−−− равны.
c) A1D−→−− и AD−→−:
Вектор A1D−→−− имеет компоненты (A1Dx, A1Dy, A1Dz), а вектор AD−→− имеет компоненты (ADx, ADy, ADz). Если компоненты этих векторов равны (A1Dx = ADx, A1Dy = ADy, A1Dz = ADz), то векторы A1D−→−− и AD−→− равны.
2. Теперь рассмотрим вопросы верности утверждений:
a) Для определения коллинеарности двух векторов, нужно убедиться, что один из векторов может быть получен умножением другого вектора на константу. Давайте проверим это для векторов A1B1−→−− и CD−→−. Если существует константа k такая, что вектор A1B1−→−− можно получить, умножив вектор CD−→− на k, то векторы коллинеарны. Другими словами, если A1B1−→−− = k * CD−→−, то векторы коллинеарны.
b) Для определения сонаправленности двух векторов, нужно убедиться, что они направлены в одном направлении. Давайте проверим это для векторов BC−→− и B1D1−→−−−. Если углы между этими векторами равны или их скалярное произведение положительно, то векторы сонаправлены. Другими словами, если cos(θ) > 0 или BC−→− · B1D1−→−−− > 0, то векторы сонаправлены.
c) Для определения противоположной направленности двух векторов, нужно убедиться, что они направлены в противоположных направлениях. Давайте проверим это для векторов B1D1−→−−− и D1B1−→−−−. Если углы между этими векторами равны 180° или их скалярное произведение отрицательно, то векторы противоположно направлены. Другими словами, если cos(θ) = -1 или B1D1−→−−− · D1B1−→−−− < 0, то векторы противоположно направлены.
