ответ: АК = СК = 5 см
Объяснение:
ВК⊥α, тогда АК и СК - проекции боковых сторон треугольника АВС на плоскость α.
Пусть Н - середина АС. Тогда ВН - медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит является и высотой,
ВН⊥АС,
КН - проекция ВН на плоскость α, значит КН⊥АС по теореме о трех перпендикулярах, тогда
∠ВНK = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью АВС и плоскостью α.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, АВ = √73 см, АН = АС/2 = 3 см,
по теореме Пифагора
ВН = √(АВ² - АН²) = √(73 - 9) = √64 = 8 см
ΔВКН: ∠ВКН = 90°,
cos∠BHK = KH / BH
KH = BH · cos∠BHК = 8 · 1/2 = 4 см
ΔАКН: ∠АНК = 90°, по теореме Пифагора
АК = √(КН² + АН²) = √(16 + 9) = √25 = 5 см
Если равны наклонные, проведенные из одной точки, то равны и их проекции:
СК = АК = 5 см
Решение: Пусть О – центр окружности, пусть Р – ближняя из точек пересечения окружности и отрезка АО. Пусть N – точка пересечения
Тогда прямоугольные треугольники OAC и ОAB равны за катетом и гипотенузой(ОF=ОA, ОC=ОB – как радиусы).Значит из равности треугольников,AC=AB
угол АOC=угол AOB(то же самое угол РOC=угол РOB)
угол OAC=угол OAB(то же самое угол OРC=угол OРB ), значит АP – биссектриса угла А,(то же самое, что AN - биссектриса угла А )
AC=AB – значит треугольник ABC – равнобедренный
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, есть его высотой и медианой
треугольник ABC – равнобедренный, AN - биссектриса угла А, значит
угол ANB= угол ANC=90 градусов
треугольник BOP – равнобедренный (BO=OP – как радиусы),
значит угол PBO= угол BPO
Пусть угол BOA= угол BOP= угол BON=х.
Сумма углов треугольника равна 180.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Тогда с треугольника BOP
угол PBO= угол BPO=(180 -х)\2=90-х\2
с треугольника AOB угол OAB=90-х
угол ABP= угол OAB- угол PBO=90-х-(90-х\2)=x\2
угол PBN=90-угол OAB- угол ABP=90-(90-x)-x\2=x\2
угол ABP= угол PBN, значит BP – биссектриса угла B.
Итак, точка P- точка пересечения биссектрис треугольника ABC, что и требовалось доказать.
