Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Так как в трапеции угол А =60, угол ABD=90, то угол ADB=30. Так как BD биссектриса угла D, то угол D=60. Угол А равен углу D, значит трапеция равнобедренная, т.е. AB=CD. Сумма углов трапеции 360, значит угол B=360-(60+60)/2=120. Угол CBD=угол B-угол ABD=120-90=30. Угол BDC тоже равен 30 (т.к. BD биссектриса), значит треугольник BCD равнобедренный, BC=CD=AB. Если провести высоту BH, то в треугольнике ABH угол А=60, AHB=90, следовательно угол ABH=30. В прямоугольном треугольнике против угла в 30 лежит катет, равный половине гипотенузы, AH=1/2 AB. Значит AD=BC+2AH=BC+AB=2AB. Периметр=AB+BC+CD+AD=AB+AB+AB+2AB=5AB. AB=P/5, AB=20/5=4. (P- периметр) AD=2AB=2*4=8
Указание. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Задача сводится к построению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе.
Решение. С центром в произвольной точке построим окружность, радиус которой равен данной медиане. Проведём произвольный диаметр AB этой окружности. С центром в точке Aпостроим окружность, радиус которой равен данному катету. Пусть C — одна из точек пересечения построенных окружностей. Тогда медиана CM (радиус первой окружности) треугольника ABC равна половине стороны AB (диаметр первой окружности), следовательно, ABC — искомый прямоугольный треугольник.
