Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 30°. найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания.
Проведем через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF. Четырехугольник BCFD — параллелограмм ( BC∥ DF как основания трапеции, BD∥ CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC. Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, т.е. треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то CN = a+b h = 2 где h — высота трапеции, a и b — ее основания
Мне проще эту задачу было решить с тригонометрии... но, получив "красивый" ответ --- угол равен 45°, захотелось найти более простое решение (ведь не указано для какого класса решается задача и, возможно, тригонометрия автору еще не известна))) не знаю--получилось ли проще... т.к. один данный угол является половиной другого, то очень хочется связать их в один треугольник... если провести биссектрису угла в 30°, то получим равнобедренный треугольник с углами при основании по 15°, в нем хочется построить высоту... но тогда и к биссектрисе провести перпендикуляр и получим еще один равнобедренный треугольник с углом при вершине 30°))) осталось рассмотреть получившиеся треугольники... один из них (выделила желтым цветом) окажется равносторонним... другой (прямоугольный) окажется равнобедренным... (ярко желтые уголки--по 45°)
ΔОМК- прямоугольный; ОМ- высота пирамиды.
Пусть ОМ=х , тогда МВ=2·ОМ=2х, ОВ²=МВ²-ОМ²=4х²-х²=3х².
ВМ=х√3. ОК=0,5ВО=х√3/2.
tg0М=ОМ/ОК=2х/х√3=2/√3.
ответ : 2/√3.