В правильной четырехугольной пирамиде в основании лежит квадрат. В нашем случае это квадрат со стороной, равной 1. Тогда апофема (высота грани пирамиды) равна по Пифагору √(AS²-AH²), где АН - половина АD. Нам дано, что ВСЕ ребра пирамиды =1. Значит апофема равна √(1-1/4)=√3/2. Угол между плоскостями SAD и SBC - это угол между двумя противоположными гранями пирамиды, а значит это угол между их апофемами. Найдем синус угла между высотой пирамиды SO и апофемой грани SH. Он равен отношению половины стороны основания HO (противолежащий катет) к апофеме SH (гипотенузе), то есть 1/2:√3/2=1/√3=√3/3. Но это синус половины искомого угла. Косинус искомого угла находится по формуле: Cos2α=1-2*Sin²α. В нашем случае Coc2α=1-2*(√3/3)²=1-3/9=1-2/3=1/3. ответ: косинус между плоскостями SAD и SBC равен 1/3.
Биссектриса угла СДА проходит через середину АВ (точка Е) и пересекает продолжение основания СВ (точка К) АЕ=ЕВ <АДЕ=<СДЕ ΔКВЕ=ΔДАЕ по стороне (АЕ=ЕВ) и двум прилежащим углам (<КЕВ=<ДЕА как вертикальные, <ДАЕ=<КВЕ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АВ). Значит АД=КВ и КЕ=ЕД. В ΔКСД <СКД=<СДК, т.к. <СКД=<АДК как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей КД, а <СДК=<АДК по условию. Значит этот треугольник равнобедренный КС=СД. КС=КВ+ВС=АД+ВС Значит СД=АД+ВС, что и требовалось доказать. б) АВ=8, ВС=2, СД=10, АД=СД-ВС=10-2=8. Найти площадь трапеции, зная все ее стороны, можно несколькими Например, в трапеции АВСД опустим высоты ВН и СМ на нижнее основание АД (ВН=СМ). Обозначим АН=х, МД=у, НМ=ВС=2 АД=АН+НМ+НД=х+2+у ВН²=АВ²-АН²=64-х² СМ²=СД²-МД²=100-у² Получается система уравнений: х+у+2=8 64-х²=100-у² у=6-х (6-х)²-х²=100-64 36-12х+х²-х²=36 х=0 Значит ВН=8 Площадь трапеции АВСД: Sавсд=ВН(АД+ВС)/2=8(8+2)/2=40
