Дано АВСД - прямоугольная трапеция угол ВАД =45 ВС=10 Найти АД Решение Из точки В к большему основанию проведем высоту ВН Рассмотрим треугольник АВН - прямоугольный. Сумма углов 180 угол АВН равен 180-45-90=45. Следовательно треугольник равнобедренный и стороны при основании равны АН=ВН Рассмотрим прямоугольник ВСДН. Проведем в нем диагональ, она делит угол пополам и получившейся треугольник ВСД тоже равнобедренный - углы при основании равны по 45 градусов. ВС=СД=10 см СД=ВН как противоположные стороны прямоугольника в нашем случае это квадрат (все стороны равны ВС=СД=НД+ВН и углы прямые). АД=АН+НД АД=10+10=20
Давайте сначала рассмотрим две точки и посмотрим, при каких условиях прямая будет равноудалена от них (первый рисунок). Я утверждаю, что так будет, если или она параллельна отрезку, соединяющему эти точки, или проходит через середину этого отрезка.
Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок). Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.
Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.
ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.
угол ВАД =45 ВС=10
Найти АД
Решение
Из точки В к большему основанию проведем высоту ВН
Рассмотрим треугольник АВН - прямоугольный. Сумма углов 180
угол АВН равен 180-45-90=45. Следовательно треугольник равнобедренный и стороны при основании равны АН=ВН
Рассмотрим прямоугольник ВСДН. Проведем в нем диагональ, она делит угол пополам и получившейся треугольник ВСД тоже равнобедренный - углы при основании равны по 45 градусов. ВС=СД=10 см СД=ВН как противоположные стороны прямоугольника в нашем случае это квадрат (все стороны равны ВС=СД=НД+ВН и углы прямые).
АД=АН+НД АД=10+10=20