S1 ≈ 19,8 cм².
S2 ≈ 3,9 cм².
Объяснение:
По теореме косинусов в треугольнике АВС:
АВ² = ВС² + АС² - 2·ВС·АС·Сos30 =>
25 = 64 + AC² - (8√3)·AC =>
Решаем квадратное уравнение AC² - (8√3)·AC +39 = 0 и =>
AC1 = 4√3+3 ≈ 9,9 см.
АС2 = 4√3-3 ≈ 3,9 см.
По теореме синусов в треугольнике АВС:
5/Sin30 = 2R => R = 5·2/2 = 5 см.
R = a·b·c/(4·S) =>
S1 = a·b·c/(4·R) ≈ (5·8·9,9)/20 = 19,8 cм².
S2 = a·b·c/(4·R) ≈ (5·8·3,9)/20 = 7,8 cм²
P.S. Для проверки на рисунке выполнено точное построение, доказывающее, что задача имеет два решения.
См. рисунок во вложении
АОВ- центральный угол сегмента
Площадь сегмента S=пи*R^2*(угол AOB)/360, где R -радиус основной окружности.
Обозначим r - радиус вписанной окружности
DE - перпендикуляр из центра вписанной окружности на радиус AO.
CD=DF=DE=r
R=3*r
CO=R, CD+DF=2*r, значит, FO=r
DF+FO = 2*r
В треугольнике OED sin угла(EOD)=DE/DO=1/2
Угол EOD=30 градусов, он равен половине центрального угла сегмента (это очевидно из рассмотрения треугольников EDO и DOK), значит, центральный угол равен 60 градусов
S=пи*R^2*60/360=24*пи, откуда R^2=144, R=12
r=R/3=4
Длина вписанной окружности hfdyf 2*пи*r=8*пи
