30=2*3*5 - произвеление взаимно простых чисел. Значит, достаточно доказать, что делится на 2, на 3, на 5
1) деление на 2
6п⁵+40п³ естественно, четное, т.е. делится на 2
15п⁴-п=п(15п³-1) если п - четное, то произведение делится на 2, если п нечетное, то в скобках получается четное число, т.е. опять произведение делится на 2.
2) деление на 3
6п⁵+15п⁴=3(2п⁵+5п⁴) - естественно , делится на 3
40п³-п=39п³+п³-п первое слагаемое делится на 3, провероим остальное . п³-п=п*(п²-1)=(п-1)*п*(п+1) имеем произведение последовательных чисел, одно из которыз ОБЯЗАТЕЛЬНО кратно 3.
3) 15п⁴+40п² естественно делится на 5
проверим 6п⁵-п
6п⁵-п=5п⁵+п⁵-п
5п⁵ делится на 5, проверим п⁵-п
п⁵-п=п*(п⁴-1)=п(п²-1)(п²+1)=п(п-1)(п+1)(п²+1)=п(п-1)(п+1)(п²-4+5)=
=п(п-1)(п+1)(п²-4)+5п(п-1)(п+1) второе слагаемое делится на 5, проверим первое
п(п-1)(п+1)(п²-4)=п(п-1)(п+1)(п-2)(п+2)=(п-2)(п-1)п(п+1)(п+2) имеем произведение последовательных 5 чисел, из которых одно обязательно делится на 5
Все.
Около трапеции описана окружность, следовательно трапеция равнобедренная (т.к. сумма противолежащих углов равна 180). Биссектрисы углов при основании образуют равнобедренный треугольник (половины равных углов равны). Радиус вписанной окружности делит основание пополам (т.к. является высотой и медианой). Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Таким образом, искомый пятиугольник разделен на четыре равных (по двум катетам) прямоугольных треугольника.
S= 4*(a/2)r/2 =ar
Биссектрисы углов при боковой стороне перпендикулярны (т.к. сумма односторонних углов при параллельных равна 180). Радиус к боковой стороне является высотой из прямого угла и равен среднему пропорциональному проекций катетов.
r= √(a/2*b/2) =√(ab)/2
S= a√(ab)/2 =3√15/2
