Question

15 основой пирамиды является равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны b; боковые грани, содержащие боковые стороны, перпендикулярные к основанию и образуют между собой угол a. третья грань образует с основанием тоже угол a. найдите площадь боковой поверхности.

Answer 1

1)Найдём высоту основания:

$h_{1}=b*Cos\frac{\alpha }{2}$

2) Найдём высоту пирамиды :

$H=h_{1} *tg\alpha=b*Cos\frac{\alpha }{2}*tg\alpha$

3)Найдём высоту боковой грани:

$h_{2}=h_{1}:Cos\alpha=\frac{b*Cos\frac{\alpha }{2} }{Cos\alpha }$

Основание равнобедренного треугольника равно:

$2b * Sin\frac{\alpha }{2}$

Площадь боковой грани, перпендикулярной основанию равна :

$S_{1}=\frac{1}{2}b*H=\frac{1}{2} b*b*Cos\frac{\alpha }{2}*tg\alpha=\frac{1}{2}b^{2}Cos\frac{\alpha }{2}tg\alpha$

Таких боковых граней перпендикулярных основанию - две, поэтому:

$S_{1}=S_{2}\\S_{1} +S_{2}=2*\frac{1}{2}b^{2} Cos\frac{\alpha }{2}tg\alpha=b^{2}Cos\frac{\alpha }{2}tg\alpha$

Площадь третьей боковой грани равна :

$S_{3}=\frac{1}{2}*2bSin\frac{\alpha }{2}*\frac{b*Cos\frac{\alpha }{2} }{Cos\alpha }=\frac{b^{2}Sin\frac{\alpha }{2}Cos\frac{\alpha }{2} }{cos\alpha }=\frac{b^{2}Sin\alpha }{2Cos\alpha }=\frac{1}{2}b^{2} tg\alpha\\S_{bok}=S_{1} +S_{2}+S_{3}=b^{2}Cos\frac{\alpha }{2}tg\alpha+\frac{1}{2}b^{2} tg\alpha=b^{2}tg\alpha(Cos\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{2})$