Если стороны BC = а (считаем эту сторону основанием), AC = b и AB = c, то периметр равен 2*p = (a + b +c);
Отрезок PQ = t = 2,4; точка Р на стороне b, Q на стороне c.
Точки касания вписанной окружности стороны ВС - точка M, стороны АС - точка К, стороны АВ - точка Е.
Точка касания вписанной окружности отрезком PQ - точка Т.
Если обозначить отрезки от вершин до точек касания ВЕ = ВМ = x, СК = СМ = y и АК = АЕ = z, то
a = x + y;
b = x + z;
c = y + z;
Периметр меньшего треугольника (который отсечен заданным отрезком касательной) равен 2*z, поскольку РК = РТ; и QE = QT.
Отсюда легко видеть, что ПОЛУпериметр отсеченного треугольника равен p - a; (по условию, р = 10)
Поскольку эти треугольники подобны (исходный и отсеченный отрезком касательной), то ПОЛУпериметры относятся так же как стороны, и
(p - a)/p = t/a;
(10 - a)/10 = 2,4/a;
это легко привести к виду
a^2 - 10*a + 24 = 0;
a = 4 или 6.
Получилось 2 решения. :(
1) Я долго сомневался, как лучше сделать, и все-таки решил не выводить здесь известные свойства внешних и внутренних касательных к двум окружностям. Просто перечислю то, что нужно знать для решения этой задачи. Найдите в учебниках или докажите сами.
LD = NP = KQ;
кроме того, равны и "кусочки" этих отрезков:
LN = LW = DZ = DQ; DK = DW = LZ = LP;
(некоторые, я в том числе, испытывают серьезные трудности восприятия этих равенств, когда впервые с ними сталкиваются, особенно с учетом того, как просто они получаются)
2) BZ = BF = BL + LZ = BL + DK; аналогично BT = BW = BL + DQ;
=> BL + DK + BL + DQ + CT + AF + AC = 2p; (как всегда, p - полупериметр ABC)
CT + AF = AC - QK;
=> 2*BL + QK + 2*AC - QK = 2p;
=> BL = p - AC = (AB + BC - AC)/2 = 2; это в точности равно радиусу вписанной в ABC окружности.
Рассмотрим осевое сечение конусов
АИ = ГИ = 12
БИ = 9
ДИ = 5
С - центр большого вписанного шара
1.
По т. Пифагора для ΔАИД
АД² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
АД = 13
2.
По т. Пифагора для ΔАИБ
АБ² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225
АБ = 15
3.
Рассмотрим ΔАБД
БД = 9+5 = 14
Три стороны 13, 14, 15
полупериметр
p = 1/2(13+14+15) = 21
Его площадь по формуле Герона
S² = p(p-a)(p-b)(p-c)
S² = 21(21-13)(21-14)(21-15) = 21*8*7*6 = 7056
S = 84
4.
ΔАБД состоит из двух треугольников - ΔАБС и ΔАДС
S(АБД) = S(АБС) + S(АДС)
84 = 1/2*АБ*ЛС + 1/2*АД*ЕС
ЛС = ЕС = r - радиус большого шара
168 = 15r + 13r
168 = 28r
r = 6
5.
Рассмотрим ΔАСД
S(АСД) = 1/2*АД*СЕ = 1/2*АИ*СД
13*6 = 12*СД
СД = 13/2
СИ = СД - ДИ = 13/2 - 5 = 3/2
БЦ = БИ - ЦС - СИ = 9 - 6 - 3/2 = 3/2
6.
УФ - касательная одновременно к большому и малому шарам
ΔАБГ ~ ΔУБФ, поскольку ∠Б общий, и ∠А = ∠У, ∠Г = ∠Ф
Коэффициент подобия
k = БИ/БЦ = 9/(3/2) = 6
УФ = АГ/k = 24/6 = 4
УБ = БФ = АБ/k = 15/6 = 5/2
7.
S(УБФ) = 1/2*УФ*БЦ = 1/2*4*3/2 = 3
полупериметр ΔУБФ = 1/2*(4 + 5/2 + 5/2) = 9/2
радиус вписанной окружности ΔУБФ
S = rp
3 = r*9/2
r = 2/3
И это ответ