Пусть в треугольнике АВС стороны АВ=4 см, ВС=6 см, АС=8 см. Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВКС и проведём диагональ АС. Сторона ВС в этом параллелограмме является второй диагональю. Диагонали пересекаются в точке М, которая делит их пополам. ВМ=СМ и АМ=КМ.
В параллелограмме сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей. ⇒ АВ²+ВК²+КС²+АС²=АК²+ВС² ⇒2•(16≠64)=36+АК² ⇒ АК²=124, откуда АК=2√31. Медиана к ВС – половина АК и АМ =√31 см простой, вычисления несложные. Медиану к ВА аналогичным можете найти из параллелограмма АТВС, медиану к АС – из параллелограмма АВСЕ.
Медиану треугольника, стороны которого известны, можно найти и по формуле М=[√(2а*+2b*-с*)]:2, где а и b - стороны, между которыми медиана проходит, с - сторона, к которой медиана проведена.
Треугольники ABM и CDM - подобны :
∠AMB = ∠DMC (Вертикальные)
∠MAB = ∠MCD (Внутренние накрестлежащие)
Значит : DC/AB = MC/AM -> 56/14 = MC/AM -> MC/AM = 4 -> MC=4AM
AC = AM + MC
40 = AM + 4 AM -> 5 AM = 40 -> AM = 40:5=8
MC = 4 * 8 = 32
ответ : MC = 32.