1. 24 см²
2. 5 см, 30 см²
3. 4√61 см, 60 см²
Объяснение:
1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше стороны. Найдите площадь треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к ней высоту.
АС = 12 см,
ВН = АС / 3 = 12 / 3 = 4 см
Sabc = 1/2 · AC · BH = 1/2 · 12 · 4 = 24 см²
2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника.
По теореме Пифагора:
АС = √(АВ² - ВС²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
Sabc = 1/2 · AC · BC
Sabc = 1/2 · 5 · 12 = 30 см²
3. Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Найдите его площадь и периметр.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
АО = 1/2 АС = 6 см
ВО = 1/2 BD = 5 см
ΔАОВ: ∠АОВ = 90°, по теореме Пифагора
АВ = √(АО² + ВО²) = √(6² + 5²) = √(36 + 25) = √61 см
Стороны ромба равны, поэтому
Pabcd = 4 · АВ = 4√61 см
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
Sabcd = 1/2 · AC · BD = 1/2 · 12 · 10 = 60 см²
Ромб ABCD, окружность проходит через точки A, B, C
AK = 5 см; КС = 1, 4 см ⇒ АС = АК + КС = 5 + 1,4 = 6,4 см
У ромба диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам : AC⊥BD; AO=OC = AC/2 = 6,4 /2 = 3,2 см; BO=OD.
AK⊥BD и делит хорду BD пополам ⇒ AK - диаметр окружности.
ΔABK - прямоугольный, так как сторона AK является диаметром описанной окружности.
Высота треугольника, проведенная из прямого угла на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу :
BO² = AO·OK = AO·(AK-AO) = 3,2·(5-3,2) = 3,2·1,8 = 5,76 = 2,4²
BO = 2,4 см
ΔAOB образован диагоналями, прямоугольный. Теорема Пифагора
AB² = AO² + BO² = 3,2²+2,4² = 10,24+5,76= 16 = 4²
AB = 4 см
ответ: сторона ромба равна 4 см