Question

точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (1; -3) и квадратом расстояния от точки (2; -1) остается равной 4. найти траекторию точки.

Answer 1

Добрый день!

Чтобы найти траекторию точки, которая движется таким образом, что разность между квадратом расстояния ее от точки (1; -3) и квадратом расстояния от точки (2; -1) остается равной 4, мы можем использовать уравнение окружности.

Уравнение окружности имеет следующий вид: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

В данном случае, у нас есть две точки: (1; -3) и (2; -1). Эти две точки находятся на траектории точки, поэтому центр окружности будет лежать посередине между ними. Давайте найдем координаты центра окружности (a, b).

a = (1 + 2) / 2 = 3 / 2 = 1.5
b = (-3 - 1) / 2 = -4 / 2 = -2

Теперь мы можем записать уравнение окружности:

(x - 1.5)^2 + (y + 2)^2 = r^2

Осталось найти радиус r. Мы знаем, что разность между квадратом расстояния от точки (1; -3) и квадратом расстояния от точки (2; -1) должна быть равна 4.

Пусть точка (x; y) находится на траектории точки. Тогда:

(x - 1)^2 + (y + 3)^2 - [(x - 2)^2 + (y + 1)^2] = 4

Раскроем скобки и упростим уравнение:

(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9) - (x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1) = 4

x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 - x^2 + 4x - 4 - y^2 - 2y - 1 = 4

Раскроем скобки и сложим подобные члены:

2x + 4y - 6 = 4

2x + 4y = 10

Теперь, чтобы найти траекторию точки, упростим это уравнение. Разделим каждый член на 2:

x + 2y = 5

Таким образом, траектория точки будет задана уравнением прямой x + 2y = 5.

Я надеюсь, что я смог объяснить вам решение этой задачи подробно и понятно. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь их задавать!