Если продлить секущие до пересечения, то получится треугольник, очевидно подобный исходному (уж точно с равными углами). Далее, у этих треугольников общая вписанная окружность, и точки касания параллельных сторон попарно лежат на противоположных концах диаметров (это - главный момент доказательства, я конечно, мог бы и не заострять внимание...). Поэтому при вращении на 180° вокруг центра окружности точки касания "переходят в себя", следовательно, "переходят в себя" стороны треугольников (они перпендикулярны этим диаметрам). То есть эти треугольники равны, и - поскольку отрезки стороны между секущими "переходят" в отрезки секущих между сторонами (тоже момент интересный - точка пересечения однозначно определяется двумя прямыми, и если две прямые переходят в две другие прямые, то точка пересечения переходит в ... понятно :)), они тоже равны. То есть это равенство отрезков не есть свойство только заданного треугольника, оно выполнено для произвольного треугольника. Периметр каждого отсеченного треугольника равен сумме длин двух равных отрезков касательных из соответствующей вершины (в этом утверждении равенство касательных использовано дважды - равны отрезки касательной из вершины А и из вершин шестиугольника, ближайших к А, поэтому периметр равен .. ну, понятно). Если обозначить отрезки касательных из вершины А за x, из B за y, из С за z, то x + y = 5; x + z = 7; y + z = 6; Откуда x = 3; (можно и остальные найти легко, y = 2; z = 4) То есть периметр отсеченного треугольника с вершиной А равен 2*х = 6; периметр подобного ему исходного треугольника равен 5 + 6 + 7 = 18; то есть в 3 раза больше. Поэтому площадь малого треугольника равна 1/9 площади АВС. Осталось сосчитать площадь АВС, например, по формуле Герона. p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p - 5 = 4; p - 6 = 3; p - 7 = 2; S^2 = 9*4*3*2; S = 6√6; Поэтому площадь малого треугольника 2√6/3;
Для доказательства равенства углов ABD и CBD, мы должны использовать данные задачи и применить определенные свойства углов и треугольников.
Дано, что BD является биссектрисой угла ABC, а также что ADB равно CDB. Чтобы доказать, что углы ABD и CBD равны, мы можем воспользоваться свойствами углов, свойствами биссектрисы и свойствами треугольников.
1) Угол ABC разделен на два угла ABD и CBD биссектрисой BD.
- Свойство биссектрисы гласит, что она делит угол на два равных своими мерами угла.
- Мы знаем, что ABD и CBD очень похожи друг на друга, потому что они являются двумя частями одного и того же угла.
2) У нас есть также дано, что угол ADB равен углу CDB.
- Углы между параллельными прямыми, пересекающими третью прямую, являются соответствующими углами и равны друг другу.
- В данной задаче, прямая AB параллельна прямой CD, и биссектриса BD пересекает обе эти прямые. Таким образом, углы ADB и CDB являются соответствующими углами и равны друг другу.
Теперь, используя данные свойства и факты, мы можем сделать вывод, что углы ABD и CBD равны друг другу и сделать соответствующее пояснение для школьника:
"Итак, чтобы ответить на вопрос о равенстве углов ABD и CBD, мы можем воспользоваться следующими фактами:
1) BD является биссектрисой угла ABC, что означает, что этот угол разделен на два равных по величине угла - ABD и CBD.
2) Мы знаем, что угол ADB равен углу CDB, потому что эти углы являются соответствующими углами, образованными пересечением биссектрисы и параллельных прямых.
Поэтому, углы ABD и CBD равны, что и требовалось доказать".
Таким образом, мы подробно объяснили шаги решения и обосновали ответ, чтобы ответ был понятен школьнику.
Формула Герона:
S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
Где p - 1/2 периметра
p=(6+8+10)/2=12 см
Значит:
S=√(12*(12-6)*(12-8)*(12-10))
=√576=24
ответ: 24 см^2