Question

Знайти площу криволінійнонї трапеції обмеженої лініями y=4-x²; y=(x-2)²; y=0

Answer 1

Найдем точки пересечения парабол:

$4-x^{2}=(x-2)^{2}\\4-x^{2}=x^{2}-4x+4\\x^{2}-2x=0\\x_{1}=0\\x_{2}=2$

Значит фигура D ограничена справа прямой x = 2, а слева x = 0

Сверху она ограничена параболой $4-x^{2}$, а снизу параболой $(x-2)^{2}$

Т.е. нам нужно найти интеграл:

$\int\limits^2_0{}\,dx\int\limits^{4-x^{2}}_{(x-2)^{2}}{}\,dy=\int\limits^2_0{(4-x^{2}-(x-2)^{2})}\,dx=\int\limits^2_0{(-2x^{2}+4x)}\,dx=(-\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2})\left\{{{2}\atop {0}} \right.=-\frac{2}{3}*2^{3}+2*2^{2}=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$