Boт когда в голову приходят такие решения, я все-таки понимаю, зачем сижу на этом сайте :)
1. Треугольник "достраивается" до параллелограмма. Для этого медиана АК (К - середина ВС) продолжается на свою длину за точку К и полученная точка А1 соединяется с В и С.
2. на АА1 отмечается точка М1 так, что М1К = МК. Ясно, что М1ВМС - тоже параллелограмм (я даже не стану уточнять, что М1 - точка пересечения медиан треугольника А1ВС, симметричного треугольнику АВС относительно точки К).
Поэтому угол ВМ1С = угол ВМС.
В четырехугольнике М1ВАС сумма противоположных углов ВМ1С и ВАС равна 180 градусов, поэтому вокруг него можно описать окружность.
М1А и ВС - две хорды этой окружности, пересекающиеся в точке К. Поэтому
АК*М1К = ВК*КС;
Если обозначить длину медианы АК как m, то М1К = m/3, и
m^2/3 = (8/2)^2; m^2 = 48; m = 4*√3
Задача, конечно, очень простая, и "задним числом" понятно, что на это решение и рссчитывали (может быть, там можно как то доказать подобие треугольников АВК и СМК, но мне уже не охота этим заниматься, тем более, что это совершенно эквивалентный метод), но сам оказался симпатичным.
Это скорее алгебраическая задача.
Пусть АВ = с; BC = a; AC = b;
p = (a + b + c)/2;
p - c = z = 7√3; или b + a - c = 2*z;
Радиус r вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, равен
r = S/(p - a); или r = 2*S/(b + c - a);
Теперь числитель и знаменятель этой дроби умножаются на 2*z = b + a - c;
r = 2*S*2*z/((b + c - a)*(b - c +a)) = 4*S*z/(b^2 - (c - a)^2) = 4*S*z/(b^2 - a^2 - c^2 + 2*a*c);
Теперь надо подставить S = a*c*sin(B)/2 и b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(B); получается
r = 2*z*a*c*sin(B)/(2*a*c - 2*a*c*cos(B)) = z*sin(B)/(1 - cos(B)); это ответ в общем случае.
Если подставить числа z = 7√3; sin(B) = √3/2; cos(B) = -1/2, то r = 7;
Я решил добавить кое-что - мало ли, кому пригодится.
Соотношение r = S/(p - a); где r - радиус вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, доказать очень просто. Если соединить центр О этой окружности с вершинами треугольника АВС, то
S = Sabo + Saco - Sbco (Sabo - это площадь треугольника АВО, и так далее)
В каждом из этих треугольников радиус вневписанной окружности является высотой к стороне, которая - к тому же - сторона треугольника АВС.
S = AB*r/2 + AC*r/2 - BC*r/2 = (c + b - a)*r/2 = (p - a)*r; где p = (a + b + c)/2;
ЧТД.
Отсюда, кстати, сразу можно получить очень веселые и красивые следствия, например, такое (с учетом формулы Герона для площади)
S^2 = r*ra*rb*rc;
где r - радиус вписанной окружности, ra, rb, rc - радиусы трех вневписанных окружностей треугольника АВС.
Высота равна половине бокового ребра, так как является катетом, лежащим против угла в 30 градусов в прямоугольним треугольнике, образованном боковым ребром, высотой и половинкой диагонали основания.
ответ: 1см ·