Две стороны треугольника 7 см и 8 см, его площадь равна 16√3 см² .Найдите сумму квадратов значений, которые может принимать третья сторона треугольника
Объяснение:
Δ АВС, а=7см, с=8 см, S=16√3 см²
S(ΔАВС)=0,5ас*sinВ,
16√3=0,5*7*8*sinВ,
sinВ=(32√3)/56,
sinВ=(4√3)/7.
По основному тригонометрическому тождеству найдем cosВ.
sin²В+cos²В=1, ( (4√3)/7)²+cos²В=1, cos²В=1-48/49, cosВ=±1/7, .
Применим т.косинусов для стороны в:
cosВ=1/7, cosВ=-1/7,
в²=а²+с²-2*а*с*cosВ, в²=а²+с²-2*а*с*cosВ,
в²=7²+8²-2*7*8*1/7, в²=7²+8²-2*7*8*(-1/7),
в²=49+64-16 , в²=49+64+16 ,
в²=97 , в²=129.
Сумма квадратов значений, которые может принимать третья сторона треугольника будет равна 97+129=226
Высота, проведенная к основанию, является и медианой,
половина произведения основания на высоту дадут площадь, но эту же площадь можно получить, если умножить боковую сторону на высоту х, проведенную к этой стороне, т.е. 25*х/2=168, откуда х=2*168/25=336/25=13.44
Найдем теперь часть боковой стороны, которая делится высотой, проведенной к бок. стороне, начиная от вершины треугольника.
она равна √(625-180.6336)=√(444.3664)=21.08
значит, оставшаяся часть боковой стороны
25-21.08=3.92
используем ее для нахождения высоты, проведенной к основанию.
из прямоуг. треугольника, образованного частью бок. стороны, и высотой, проведенной к основанию, находим основание.
√(21.08²+3.92²)=√(180.6336+15.3664)=√196=14/см/
ответ 14 см
2*b = 180 - a; b = 90 - a/2; b/2 = 45 - a/4;
L = 2*R*sin(a); теорема синусов.
r /(L/2) = tg(b/2); центр вписаной окужности лежит на биссектрисе.
r = R*sin(a)*tg(b/2);
r/R = sin(a)tg(45 - a/4); ну, вообще то это уже ответ :))) упростим. Я из чувства лени :)) просмотрел вагон сайтов с формулами, но почему то связь между тангенсом угла и функциями двойного угла не нашел, хотя всегда считал это табличными формулами.. Странно, но получаются они элементарно. Умножаем и делим на 2*соs(45 - a/4);
r/R = sin(a)*(2*sin(45 - a/4)*cos(45 - a/4))/((2*(cos(45 - a/4))^2) - 1 + 1);
r/R = sin(a)*sin(90-a/2)/(cos(90 - a/2)+1) = sin(a)*cos(a/2)/(sin(a/2)+1);
Дальше упрощать смысла нет.
для равностороннего треугольника r/R = 1/2, формула дает ту же величину.