Основания трапеции параллельны.
ВС║АD, АВ- секущая.
∠А=90°(дано) ⇒ ∠В=90°
СЕ⊥АD⇒ АВСD- прямоугольник.
СЕ=АВ
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
а) ∆ ВОС=∆ АОЕ
Е - середина АD, О - середина АС. ⇒
ОЕ - средняя линия ∆ АСD и параллельна СD.
∆ ACD и ∆ АОЕ подобны ( равны соответственные углы при основаниях). Т.к. ∆ ВОС=∆ АОЕ, то и ∆ ВОС подобен ∆ АСD
В подобных треугольниках отношение сходственных сторон равны ⇒ ВО:ВС=СD:AD
б) СЕ - высота ∆ АСD, АЕ=ЕD.
Треугольники АСЕ и DCE равны по двум катетам.
Площадь ∆ АСЕ=∆ DСЕ= 20:2=10 см²
В прямоугольных ∆ ВАЕ и ∆ СЕD равны катеты. ⇒
∆ АВЕ = ∆ СЕD
В ∆ АВЕ отрезок АО медиана,
Медиана треугольника делит его на равновеликие треугольники.
АОВ и АОЕ равновелики.
Ѕ АОВ=0,5•Ѕ(АВЕ)=10:2=5см²
Ѕ ABOCD=S(ACD)+S(ABO)=20+5=25 см²
Прямоугольные треугольники ADM и ADE подобны, то есть AM/AB = AB/AE; или
AM*AE = AB^2;
Ясно, что AM = AC/2; Для AE возможны два варианта
1) точка E лежит ВНУТРИ ромба. В этом случае угол A ромба острый.
AE = AC - CE;
Получается уравнение (AC/2)*(AC - 12) = 8^2*5; AC^2 - 12*AC - 640 = 0 ;
или AC = 32; отсюда AM = 16; BM^2 = (8^2*5 - 16^2) = 8^2; BD = 2*BM = 16; это меньшая диагональ.
2) точка E лежит ВНЕ ромба. В этом случае угол A ромба тупой.
AE = AC + CE;
Получается уравнение (AC/2)*(AC + 12) = 8^2*5; AC^2 + 12*AC - 640 = 0;
или AC = 20; это меньшая диагональ.
В задаче есть 2 варианта решения - в зависимости от того, где лежит точка E (или - какой угол A - острый или тупой).