Найти координаты вершины Д параллелограмма АВСД, если координаты трех других его вершин А(3;-4;7), В(-5;3;-2), С(1;2;-3) В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам. Найдем координаты этой точки, разделив вектор АС пополам (сумма координат начала и конца, деленная пополам): О(2;-1;2). А теперь находим координаты вершины D, зная координаты начала вектора ВD (точки В) и его середины (точки О). 2=(Хd-5)/2, отсюда Хd=9. -1=(Yd+3)/2, откуда Yd=-5. 2=(Zd-2)/2, отсюда Zd=6. Итак, координаты вершины D равны D(9;-5;6). ответ: D(9;-5;6).
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы. Пусть в основании призмы лежит ромб ABCD, AB=8 см, углы A и C равны 120 градусам. Тогда углы B и D равны 180-120=60 градусам (в ромбе сумма соседних углов равна 180 градусам). Треугольник ABC является равнобедренным с углом при вершине 60 градусов, тогда он равносторонний, так как 2 других угла также равны 60 градусам. Значит, AC=AB=8 см. Диагональ AC соединяет тупые углы ромба и поэтому является наименьшей. Наименьшее диагональное сечение призмы проходит через наименьшую диагональ основания, два боковых ребра и наименьшую диагональ верхней грани призмы. Боковые ребра прямой призмы равны её высоте, а так как диагональное сечение призмы является квадратом, высота призмы равна диагонали AC и также равна 8 см. Площадь ромба в основании можно вычислить по формуле S=a²sinA, где a - сторона ромба, sinA - синус одного из углов. Значит, S=8²sin60=32√3. Тогда V=S*h=32√3*8=256√3 см³.
В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам. Найдем координаты этой точки, разделив вектор АС пополам (сумма координат начала и конца, деленная пополам):
О(2;-1;2).
А теперь находим координаты вершины D, зная координаты начала вектора ВD (точки В) и его середины (точки О).
2=(Хd-5)/2, отсюда Хd=9.
-1=(Yd+3)/2, откуда Yd=-5.
2=(Zd-2)/2, отсюда Zd=6.
Итак, координаты вершины D равны D(9;-5;6).
ответ: D(9;-5;6).