Вправильной треугольной призме abca1b1c1 через сторону основания bc и середину м бокового ребра аа1 проведено сечение,составляющее угол 45 градусов с плоскостью основания. найти объем призмы,если сторона основания 10 см и рисунок,
АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому ∠ABD = ∠ADB, BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x. ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°. ∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится: cos 80° ≈ 0,1736 BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2
Обозначим стороны основания параллелепипеда как a и b, сторону диагонального сечения как c, а высоту параллелепипеда как h.
Запишем условия задачи математически:
a = x - обозначим размер одной стороны как x. Условие "отношение сторон есть 2:1" можно записать в виде: b = 2*a
Подставив x получаем: b = 2*x
Площадь квадратного сечения можно представить так: c * c = 25
Откуда мы сразу же получаем значение для стороны сечения: c = 5.
К тому же, можно заметить, что h = c, т.к. сечение параллелепипеда есть квадрат!
Вспомним формулу для объема параллелепипеда: V = a * b * h
Подставим в формулу значения:
Упростим:
Чтобы на основе найденных значений мы получили a и b, рассмотрим как связаны между собой a, b и c.
Эти три отрезка образуют прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (потому что наш параллелепипед прямоугольный, а значит угол между отрезками a и b равен 90 градусов).
Составим уравнение по теореме Пифагора:
Теперь подставим для всех сторон соответствующие значения:
Далее:
Итого получаем:
Решать это уравнение дальше нам не нужно, так как в формуле для объёма у нас есть !
Просто подставляем найденное значение в формулу объёма и получаем ответ:
!
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3 / (2√(5 - 4cos80°))
BB₁ = 3x = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) или
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2