Question

45 ! в трапеции abcd через точку o пересечения диагоналей проведён отрезок mn параллельно основаниям ad и bc . 1. докажи, что отрезок в точке o делится пополам (напиши выражения отрезков mo и on через основания ad=x и bc=y ): 2. определи длину отрезка, если ad= 11 см и bc= 5 см. 1. mo=on= ⋅ 2. ответ запиши в виде не сокращённой дроби: mn= см

Answer 1

1. подобие треуг авс и амо дадут некую пропорцию мо : вс

подобие треуг всд и оnd дает ту де пропорцию оn: bc

значит мо=он

2. еще есть две пары подобных треугольниклв, авd и вмо, а также асd и соn

имеем ам: ав = мо: вс

мв: ав = мо: ад

их сумма равна

если мо=х, то х/5+х/10=1

х=10/3 и   мn = 2x = 20/3

Answer 2

abcd - трапеция; ad - нижнее основание; bc - верхнее основание; o - точка пересечения диагоналей. ef проходит через точку o и параллельно основаниям. mn проходит через точку o и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. e∈ab; f∈cd; m∈bc; n∈ad

тр-к boc подобен тр-ку aod. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. значит, ad: bc=3^: 1; mo: on=1: 3; mo: mn=1: 4;

пусть bc=x⇒ad=3x; mo=y; ⇒on=3y; mn=4y

площадь трапеции abcd равна: s=1/2(ad+bc)*mo=1/2(x+3x)*4y=8xy

выразим через s площади befc   и aefd.

площадь aefd равна сумме площадей aofd   и aeo.

рассмотрим тр-ки acd и ocf. они подобны. их высоты относятся как 4: 1, а площади как 16: 1. площадь acd равна 1/2*3x*4y=6xy. площадь ocf равна 1/16*6xy=3/8*xy. площадь aofd   равна разности площадей acd и ocf:

6xy-3/8*xy=45/8*xy

рассмотрим тр-ки abc и aeo. они подобны. их высоты относятся как 4: 3, а площади как 16: 9. площадь abc равна 1/2*x*4y=2xy. площадь aeo равна 9/16*2xy=9/8*xy. площадь aefd   равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy

площадь befc равна разности площадей abcd и   aefd:

8xy-27/4*xy=5/4*xy

s(befc): s(aefd)=5/4*xy: 27/4*xy=5: 27

Answer 3

Добрый день! Разберем пошагово задачу.

1. Докажем, что отрезок Mn делит отрезок O пополам при пересечении диагоналей трапеции ABCD в точке O.

Для начала, заметим, что если mn || ad и mn || bc, то по теореме Талеса прямоугольные треугольники ADM и BNC подобны.

Так как треугольники ADM и BNC подобны, то их соответственные стороны будут пропорциональны.

Можно записать пропорцию:
AD/MO = BC/NO.

Обозначив AD как x и BC как y, получим:

x/MO = y/NO.

Перемножим части пропорции:
x * NO = y * MO.

Разделим обе части уравнения на y и получим:
NO = (x/y) * MO.

Также можно записать пропорцию:
AB/OD = CD/OC.

Аналогично, обозначив AD как x и BC как y, получим:

(x+y)/OD = y/OC.

Перемножим части пропорции:
(x+y) * OC = y * OD.

Разделим обе части уравнения на y и получим:
OC = [(x+y)/y] * OD.

Теперь, воспользуемся тем, что точка O является точкой пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD.

Применим теорему Бриала о пересечении диагоналей трапеции:

OC/OD = AC/BD.

Заметим, что AC и BD равны: AC = AD + CD = x + (x+y) = 2x+y и BD = BC = y.

Подставим значения AC и BD в уравнение:
OC/OD = (2x+y)/y.

Так как точка O делит диагонали пополам, OC и OD равны:
OC = OD.

Тогда можем записать уравнение:
OC/OC = (2x+y)/y.

Упростим уравнение:
1 = (2x+y)/y.

Разделим обе части уравнения на (2x+y) и получим:
1/(2x+y) = 1/y.

После обратной дистрибутивности, запись получится:
y = 2x+y.

Теперь, выразим одну переменную через другую:
y - y = 2x,
x = 0.

Таким образом, у нас получилось x = 0, что означает, что точка O делит отрезок MN пополам при условии пересечения диагоналей трапеции ABCD в точке O.

2. Определим длину отрезка MN, если AD = 11 см и BC = 5 см.

Используя равенство с переменными, можем записать:
x = 11 см и y = 5 см.

Подставим значения x и y в уравнение:
MN = MO + NO = (x/y) * MO + MO.

Раскроем скобки и упростим:
MN = (x/y + 1) * MO.

Подставим значения x и y:
MN = (11/5 + 1) * MO.

Расширим дробь и упростим:
MN = (16/5) * MO = (16/5) * (OD - OC).

Заметим, что OD = OC, так как точка O делит диагонали пополам, их длины равны.

Тогда:
MN = (16/5) * (OD - OD) = (16/5) * 0 = 0.

Таким образом, длина отрезка MN равна 0 см.