В ∆ АВС ∠ВСА=90°, ∠САК=15°
Высота СН=1. Найти АВ.
-----------
СН - высота ∆ ВСА и равна 1 по условию.
Отложим на продолжении ВС отрезок СК=ВС.
Соединим К и А.
СК=СВ, угол КСА=углу ВСА=90° (смежный).
В прямоугольных ∆ АВС и ∆ АКС катеты СК=СВ по построению, АС - общий.
∆ АСВ=∆ АСК по двум катетам =>
АК=АВ,
Треугольник АВК равнобедренный.
Угол КАС=углу САВ, следовательно, угол КАВ=2•15°=30°
Опустим перпедникуляр КМ на АВ
В прямоугольном ∆ ВКМ отрезки КС=ВС по построению. =>
С - середина отрезка ВК.
СН высота и перпендикулярна АВ, отрезок КМ перпендикулярен АВ по построению, поэтому СН║КМ, следовательно, СН- средняя линия ∆ ВКМ.=>
КМ=2СН=2.
∠КАМ=∠САВ+∠САК=30°
В прямоугольном ∆ КАМ катет КМ противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы ( свойство).
АК=2КМ=4 ед. длины.
Гипотенуза АВ=АК=4 ед. длины - это ответ
Вычислим AE по формуле AE = AB * cos ∠BAD = 8*√3/2 = 4*√3
Из этого следует BC = 4*√3, AD=12*√3
Зная все стороны находим площадь.
S = (BC+AD)/2 * √AB² - (AD-BC)²/4 = 8*√3 * √64-192/4 = 32*√3
ответ: 32*√3
Второй вариант.
Найдем высоту h трапеции, зная длину отрезка AE.
h² + (4*√3)² = 8²
h = 4
Вычисляем площадь по формуле через высоту
S = (4*√3+12√3)/2*h = 32*√3
ответ: 32*√3
ответ одинаковый в двух вариантах.