Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 230°. Найдите наименьший угол. ответ дайте в градусах.
▔ ▔ ▔
★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★
Дано:
Четырёхугольник ABCD — равнобедренная трапеция (AD = BC — боковые стороны, АВ║DC — основания).
Сумма двух углов = 230°.
Найти:
Наименьший угол = ?
Решение:
Рассмотрим пару односторонних углов при основаниях и секущих — боковых сторон.
∠DAB и ∠ADC ; ∠АВС и ∠BCD — каждая из перечисленных пар углов не может давать в сумме 230°, так как по свойству односторонних углов при параллельных прямых они в сумме дают 180°.
Поэтому, пусть —
∠DAB+∠АВС = 230°.
▸В равнобедренной трапеции углы при основании (при любом и каждом) равны◂
На рисунке я выделила их дугами.
Поэтому, имеем, что —
∠DAB = ∠АВС = 230°/2 = 115°
∠ADC = ∠BCD.
▸Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°◂
То есть —
∠DAB+∠АВС+∠ADC+∠BCD = 360°
230°+∠ADC+∠BCD = 360°
∠ADC+∠BCD = 360°-230°
∠ADC+∠BCD = 130°
∠ADC = ∠BCD = 130°/2 = 65°.
▸Наименьший угол — угол, который имеет наименьшую градусную меру◂
1. сначала рисуем основание и от одного из его концов, с циркуля, в сторону направления второй стороны, рисуем полукруг, равный по радиусу этой известной стороне. 2. Затем с циркуля с двух концов основания восстанавливаем перпендикуляры к самому основанию (как это делать Вы знаете). 3. С линейки отмеряем известную высоту на обоих перпендикулярах, начиная от основания. 4 Соединяем вершины высот прямой линией с линейки. Полученная линия параллельна основанию. 5. Место пересечения этой линии и полуокружности - это вершина нужного треугольника. Соединим её с концами основания. 6. С циркуля нарисуем второй полукруг к вершине от другого конца основания так, чтобы оба полукруга пересекались сверху и снизу. Соединим точки их пересечения. Получится высота треугольника.
Пусть данный треугольник ABC, в нем опущены высоты AK и BN, ортоцентр - O. Нарисуем точку, симметричную O относительно BC: продолжим OK на отрезок, равный OK, за точку K. Обозначим полученную точку L. Теперь необходимо доказать, что ablc - вписанный пусть ∠obk = a Δobl - равнобедренный, тк bk - высота и медиана => ∠kbl = ∠obk = a из Δbnc ∠nbc = 90 - ∠bcn из Δakc ∠kac = 90 - ∠kcn ∠kcn и ∠bcn - один и тот же угол => ∠kac = ∠nbc = a ∠lac = ∠cbl = a => они опираются на одну дугу и ablc - описанный => точка l - лежит на окружности, описанной около abc. оставшиеся 2 точки доказываются абсолютно аналогично
Полное условие :
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 230°. Найдите наименьший угол. ответ дайте в градусах.
▔ ▔ ▔
★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★
Дано:Четырёхугольник ABCD — равнобедренная трапеция (AD = BC — боковые стороны, АВ║DC — основания).
Сумма двух углов = 230°.
Найти:Наименьший угол = ?
Решение:Рассмотрим пару односторонних углов при основаниях и секущих — боковых сторон.
∠DAB и ∠ADC ; ∠АВС и ∠BCD — каждая из перечисленных пар углов не может давать в сумме 230°, так как по свойству односторонних углов при параллельных прямых они в сумме дают 180°.
Поэтому, пусть —
∠DAB+∠АВС = 230°.
▸В равнобедренной трапеции углы при основании (при любом и каждом) равны◂
На рисунке я выделила их дугами.
Поэтому, имеем, что —
∠DAB = ∠АВС = 230°/2 = 115°
∠ADC = ∠BCD.
▸Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°◂
То есть —
∠DAB+∠АВС+∠ADC+∠BCD = 360°
230°+∠ADC+∠BCD = 360°
∠ADC+∠BCD = 360°-230°
∠ADC+∠BCD = 130°
∠ADC = ∠BCD = 130°/2 = 65°.
▸Наименьший угол — угол, который имеет наименьшую градусную меру◂
Таких угла два. ∠ADC = ∠BCD = 65°.
ответ:65°.