Дана прямоугольная трапеция abcd, в которую вписана окружность с центром o, радиус которой равен 4 и перпендикулярен большему основанию. меньшее основание прямоугольной трапеции равно 7. найдите площадь прямоугольной трапеции.
Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
А задаче есть избыточные данные. то, что перпендикуляр к короткой стороне равен 8 см, позволяет найти нам длинную сторону, хотя её не спрашивают в задаче. А спрашивают расстояние от точки четверти диагонали к длинной стороне. Дополним параллелограмм синими линями, чтобы под большой диагональю образовался треугольник. в нём высота h может быть найдена из известной короткой стороны и угла между короткой и длинной сторонами h = 16*sin(30) = 8 см Прямоугольные треугольники, образованные нижней стороной параллелограмма, его длинной диагональю и синей высотой h и красным расстоянием z подобны. Коэффициент подобия 1/4, т.к. по условию полная диагональ - это 4 части (3+1) и короткий отрезок - одна часть Получается, что z = 1/4 h = 8/4 = 2 см
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301