Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, где угол А прямой. Вписанная окружность касается катета АВ в точке М, где АМ=2, МВ=8. Точка касания окружности со стороной АС точка Р, центр окружности точка О. Линии проведенные к точкам касания из цетра вписанной окружности перпендикулярны сторонам и являютс радиусами. Тогда тогда АМОР является квадратом и стороны равны 2. АМ=АР как касательные к окружности, проведенные из одной точки. Рассмотрим треугольник ВМО. у него угол М прямой, МВ и МО являются катетами. Отношение МО к МВ равно тангенсу угла МВО (tg альфа).Значит тангенс МВО=2/8=1/4. Так как центр вписанной окружности лежит на пересечением биссектрис, то ВО является биссектрисой угла АВС и равен 2МВО. Найдем тагенс АВС по формуле двойного угла. он равен 2tg альфа деленное на
1-tg^2 альфа. Подставив значения получаем 8/15. A в треугольнике АВС катет АВ=2+8=10, tg АВС=8/15, найдем катет АС=АВ*tgАВС=10*8/15=80/15=16/3=5 1/3, а гипотенузу находим по теореме Пифагора.ВС^2=10^2+(16/3)^2=1156/9
ВС=34/3=11 1/3 Получаем АВ=10, АС=5 1/3, а ВС=11 1/3
проведем через точку М, пряммую перпендикулярную АD, так как AD||BC, то она будет перпендикулярна и прямой ВС, пусть пряммую AD она пересекает в точке L, а пряммую BC в точке K.
Тогда LM - высота параллелограмма ABCD, LM - высота треугольника ADM, KM - высота треугольника BCM.
Площадь парарлелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту провдеенной к этой стороне
Поэтому
S(AMD)+S(BMC)=1/2*AD*LM+1/2*BC*KM=так противоположные стороны парарлелограмма равны=
=1/2*AD*LM+1/2*AD*KM=1/2*AD*(LM+KM)=1/2*AD*LK=1/2*S(ABCD), что и требовалось доказать