Рівнобедрені трикутники»
ганнуся, петрусь та миколка незалежно одне від одного намалювали по
одному рівнобедреному трикутнику
abc
, всі кути яких вимірюються цілим
числом градусів. виявилося, що основи
ac
цих трикутників рівні і для
кожного з них на промені
bc
існує така точка
e
, що
be ac
, а кут
aec
також вимірюється цілим числом градусів. чи обов’язково:
а) всі три намальовані трикутники рівні між собою;
б) серед них знайдуться принаймні два рівні трикутники?
1) Треугольники АОС и ВОС равны по третьему признаку: у них ОС - общая сторона, ОА = ОВ как радиусы одной окружности, АС = ВС по условию. Кроме того, эти треугольники еще и равнобедренные
2) Т.к. треугольники АОС и ВОС равны, то углы АСО и ВСО равны. АСО = ВСО = АСВ : 2 = 120 : 2 = 60
3) Т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то ОАС = ОСА = 60 в треугольнике АСО и (аналогично) ОВС = ОСВ = 60 в треугольнике ВСО. Поскольку сумма углов ОАС + АСО + АОС треугольника АСО равна 180, то угол АОС тоже равен 60 и треугольник АСО равносторонний, а значит, АО = АС = 4, т.е. радиус окружности равен 4. Но т.к. диаметр равен двум радиусам, то диаметр будет 2 · 4 = 8
ответ: 8