Пусть дан один равнобедренный треугольник и второй равнобедренный треугольник АВС с равными углам при основаниях, следовательно, и третий угол при вершине одного треугольника равен третьему углу второго.
Эти треугольники подобны. В подобных треугольниках все их элементы пропорциональны, следовательно, точка пересечения биссектрисы угла при основании с высотой второго треугольника делит ее в том же отношении, что в первом, т.е. 5:3
Высота ВН равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и биссектрисой и медианой. АН=НС.
Имеем две биссектрисы треугольника АВС, которые пересекаются в некой точке О. Точка О пересечения биссектрис треугольника АВС является центром вписанной в него окружности.
Из точки О проведем перпендикуляры ОМ и ОК к боковым сторонам треугольника. М, К и Н - точки касания окружности и сторон треугольника.
ОМ=ОК=ОН= радиусу вписанной окружности.
Пусть коэффициент отношения отрезков высоты равен х.
Тогда ВО=5х, ОН=3х, ОМ=ОК=3х
Треугольники ВОМ и ВОК - египетские,т.к. катет и гипотенуза относятся как 3:5 ⇒
ВМ=ВК=4х ( можно проверить по т.Пифагора)
ВН=3х+5х=8х
Треугольники ВМО и ВНА - подобные, т.к. оба прямоугольные и имеют общий острый угол. Следовательно, треугольник ВНА тоже египетский, и из отношения сторон такого треугольника следует
АВ=10х, АН=6х. Или из подобия треугольников через отношение сходственных сторон
ВН:ВМ=АН:ОМ
ВН=3х+5х=8х
8х:4х=АН:МО
АН:МО=2
АН=6х
АВ=ВС=5*2=10х
ВН - медиана, поэтому
АС=6х+6х=12х
Периметр треугольника равен АВ+ВС+АС=48
Р=10х+10х+12х=32х
32х=48
х=1,5 см
АВ=ВС=1,5*10=15 см
АС=1,5*12=18 см
Обозначим пирамиду МАВСD. В её основании - квадрат.
В правильной пирамиде высота проходит через центр основания. Для квадрата это точка пересечения диагоналей. МО – высота пирамиды, МН –апофема.
Формула площади квадрата:
S=a²⇒ а=√36=6 см - сторона основания
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней, которые в правильной пирамиде - равнобедренные треугольники и равны.
Площадь одной грани равна 48²4=12 см²
Площадь Δ АМВ=S=a•h:2 --
h=12:3=4 см
Проведем через основание МО параллельно СВ прямую КН=СВ=6 см
ОН=КН:2=3 см
Из прямоугольного ∆ МОН высота МО=√(MH²-OH²)=√(16-9)=√7
Площадь боковой поверхности конуса равна
Здесь r - радиус основания конуса. l - образующая конуса. Нам неизвестна только образующая конуса. Она вычисляется по Теореме Пифагора .
Площадь всей поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности конуса и площади его основания. В основании лежит круг с радиусом равным 8.
Площадь полной поверхности конуса равна