Втрапеции abcd с основаниями ad и вс биссектриса угла bad проходит через середину м стороны cd. известно, что ав = 5, ам = 4. найдите длину отрезка вм.
Пусть продолжение AM за точку M пересекает BC (точнее, продолжение этого отрезка за точку С) в точке K. Тогда 1) Треугольник ABK - равнобедренный, так как ∠BKA = ∠KAD = ∠KAB; то есть BK = AB = 5; 2) AM = MK; тут можно сослаться на теорему Фалеса, а можно просто сказать, что ΔAMD = ΔKMC; поскольку есть пара равных сторон MD = MC и углы при равных сторонах тоже равны (из за параллельности оснований трапеции). То есть BM - медиана к основанию у равнобедренного треугольника ABK. Поэтому BM перпендикулярно AM, и BM = 3; (получился "египетский" треугольник).
Проще всего оказалось решить эту задачу методом треугольников по Герону. По построению найдены координаты точек пересечения рёбер СС1 и ДД1 (для упрощения длина ребра взята равной 1). Координаты точки А: ax ay az 1 0 0. Координаты точки К: bx by bz 0 0.5 0. Координаты точки С2: cx cy cz 0 1 0.3333. Находим длины сторон: АК КС2 АС2 1.118034 0.6009252 1.45297. Здесь сторона АС2 является диагональю четырёхугольника, получившегося в сечении. Отсюда находим площадь треугольника АКС2: Периметр равен Р = 3.1719255, полупериметр равен Р/2 = 1.58596. S AKC2= 0.3118048. Теперь переходим ко второму треугольнику АС2Д2: Координаты точки А: ax ay az 1 0 0. Координаты точки С2: cx cy cz 0 1 0.3333. Координаты точки Д2: cx cy cz 1 1 0.6667. Длины сторон равны: АС2 С2Д2 АД2 1.4529663 1.0540926 1.20185. Периметр равен Р = 3.7089093, полупериметр равен Р/2 = 1.85445. S AС2Д2 = 0.6236096. Сумма площадей треугольников равна площади искомого сечения: S AКС2Д2= 0.3118048 + 0.6236096 = 0.935414364а².
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = АС•√2, BC = 6. Найдите высоту CН. По т.Пифагора АВ²=АС²+ВС² АВ²-АС²=ВС² Примем АС=а. Тогда гипотенуза АВ=а√2. 2а²-а²=36⇒ а=√36=6 a√2=6√2 АС=ВС - треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота из прямого угла=0,5 гипотенузы ( по свойству медианы из прямого угла). СН =(6√2):2=3√2
Иногда эту высоту требуется записать в ответе как √2CH. Тогда, так как √2•3•√2=6, в ответе пишется 6.
Тогда
1) Треугольник ABK - равнобедренный, так как ∠BKA = ∠KAD = ∠KAB; то есть BK = AB = 5;
2) AM = MK; тут можно сослаться на теорему Фалеса, а можно просто сказать, что ΔAMD = ΔKMC; поскольку есть пара равных сторон MD = MC и углы при равных сторонах тоже равны (из за параллельности оснований трапеции).
То есть BM - медиана к основанию у равнобедренного треугольника ABK.
Поэтому BM перпендикулярно AM, и BM = 3; (получился "египетский" треугольник).