рассмотрим треугольник АОВ и АОС.
1)угол ВАО углу САО т.к. бессектриса.
2)сторона АО общая
3) углы ВОА и СОА прямые
следовательно, если сторона и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно другому,то такие треугольники равны. значит, и сторона АВ = АС - треульник равнобедренный
допустим перпендикуляр с биссектрисой пересекается в точке Е , тогда
угол САЕ=ВАЕ ( свойство биссектрис)
АЕС=АЕВ (перпендикуляр)
АЕ общая сторона => треуг.САЕ=АЕВ => СА=АВ (как соответствующий элемент равных треуг.)
или второе решение
допустим перпендикуляр с биссектрисой пересекается в точке Е , тогда
угол САЕ=ВАЕ ( свойство биссектрис)
АЕС=АЕВ (перпендикуляр)
т.к. сумма углов равна 180 гр. тогда
180-САЕ-АЕС=180-ЕАВ-АЕВ =>
АСЕ=АВЕ => треуг. равнобедренный т.к. углы при основании равны
ч.т.д.
решение к задаче приложено к ответу
решение к задаче приложено к ответу
Доказательство в объяснении.
Объяснение:
Дан треугольник АВС с основанием АС и высотой h, проведенной к основанию. Стороны треугольника
АВ = "с", ВС = "а".
Пусть основание делится высотой на отрезки, равные x и y, считая от вершины А.
Тогда из прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный треугольник, имеем:
x = c*cosa. y = a*cos2a.
c = h/sina. a = h/sin2a. cos2a = h/а. =>
x = h*cosa/sina. y = h*cos2a/sin2a.
x - y = h(cosa/sina - cos2a/sin2a).
Sin2a = 2sina·cosa. (формула двойного аргумента)
Cos2a = 1 - 2sin²а. (формула двойного аргумента) Тогда
cosa/sina - cos2a/sin2a =
(cosa·sin2a - cos2a·sina)/(sina·sin2a). =>
sina(2cos²а - cos2a)/(sina·cos2a)=(2cos²а - cos2a)/(cos2a).
(2cos²а - 1 + 2sin²а)/(cos2a) =
(2cos²а + 2sin²а - 1)/(cos2a) = 1/cos2a. =>
x - y = h/cos2a.
cos2a = h/а. =>
x - y = h/(h/а) = а.
Что и требовалось доказать.
Доказательство в объяснении.
Объяснение:
Дан треугольник АВС с основанием АС и высотой h, проведенной к основанию. Стороны треугольника
АВ = "с", ВС = "а".
Пусть основание делится высотой на отрезки, равные x и y, считая от вершины А.
Тогда из прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный треугольник, имеем:
x = c*cosa. y = a*cos2a.
c = h/sina. a = h/sin2a. cos2a = h/а. =>
x = h*cosa/sina. y = h*cos2a/sin2a.
x - y = h(cosa/sina - cos2a/sin2a).
Sin2a = 2sina·cosa. (формула двойного аргумента)
Cos2a = 1 - 2sin²а. (формула двойного аргумента) Тогда
cosa/sina - cos2a/sin2a =
(cosa·sin2a - cos2a·sina)/(sina·sin2a). =>
sina(2cos²а - cos2a)/(sina·cos2a)=(2cos²а - cos2a)/(cos2a).
(2cos²а - 1 + 2sin²а)/(cos2a) =
(2cos²а + 2sin²а - 1)/(cos2a) = 1/cos2a. =>
x - y = h/cos2a.
cos2a = h/а. =>
x - y = h/(h/а) = а.
Что и требовалось доказать.
Получили треугольник АБС. Рассмотрим прямоугольные треугольники АБД и БДС (Д- точка пересечения перпендикуляра и биссектрисы). Эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу (гипотенуза АД, угол ВАД=ДАС, так как биссектира). Из равенства треугольников следует, что угол В = углу С, а значит, треугольник равнобедренный.