Question

Впараллелограмме abcd векторы ad=a, ab=b, k принадлежит bc, l принадлежит ad bk: kc=3: 4, al: ld=4: 3. найдите разложение вектора kl по неколлинеарным векторам a и b.

Answer 1

Дано:

ABCD - параллелограмм

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow a \\ \\ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow b \\ \\ K \in BC, ~L \in AD\\\\BK:KC=3:4, ~AL:LD=4:3$

Выразить вектор $\overrightarrow {KL}$ через вектора $\overrightarrow a, ~\overrightarrow b$

$\displaystyle \overrightarrow{KL} =\overrightarrow{KB} +\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow {AL}$ (по правилу суммы нескольких векторов)

Рассмотрим параллелограмм ABCD

AD = BC по свойству параллелограмма

AD ║ BC - по определению параллелограмма

$\Rightarrow \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow a$

$\displaystyle \overrightarrow {KB} = \frac{3}{7}\overrightarrow{CB} = -\frac{3}{7}\overrightarrow{BC} = -\frac{3}{7}\overrightarrow a \\ \\ \overrightarrow {BA} = -\overrightarrow {AB} = -\overrightarrow b \\ \\ \overrightarrow {AL} = \frac{4}{7}\overrightarrow{AD} = \frac{4}{7}\overrightarrow{a}$

$\displaystyle \overrightarrow{KL} =\overrightarrow{KB} +\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow {AL} = -\frac 3 7 \overrightarrow a - \overrightarrow b + \frac 4 7 \overrightarrow a = \frac 1 7 \overrightarrow a - \overrightarrow b$

$\displaystyle \text{Answer}: \boxed{\overrightarrow {KL} = \frac 1 7 \overrightarrow a - \overrightarrow b}$