Окружность, центр которой принадлежит стороне AB треугольника ABC, проходит через точку B, касается стороны AC в точке C и пересекает сторону AB в точке D. Найдите больший угол треугольника ABC (в градусах), если AD:DB=1:2 ----------- Центр окружности лежит на АВ, следовательно, АD- диаметр. Проведем радиус ОС . Т.к. С - точка касания, ОС ⊥ АС. Треугольник АОС - прямоугольный. ОС=ОВ=ОD=r, АD:DB=1:2 ⇒ AD=DO=OB=r В прямоугольном треугольнике АСD гипотенуза AO=2 r=2 OC ⇒ sin∠OАС= OС:АО=1/2 ⇒ Угол ОАС=30º,⇒ угол АОС=60º, а смежный с ним угол ВОС=180º-60º-120º Острые углы равнобедренного треугольника ВОС равны (180º-120º):2=30º⇒ Больший угол АСВ треугольника АВС равен ∠АСВ=∠АСО+∠ВСО=90º+30º=120º
4,5(47 оценок)
Ответ:
26.03.2023
Используем формулу длины биссектрисы: . Обозначим АВ=с, ВС=а. Возведём в квадрат: Отсюда а*с=36+12=48 (1). Биссектриса делит сторону АС пропорционально боковым сторонам. 3/с = 4/а или с = (3/4)*а. Подставим в уравнение (1): а*((3/4)*а) = 48 а² =(48*4) / 3 = 64 а = √64 = 8. с = (3*8) / 4 =6. Находим радиус окружности, вписанной в треугольник АВС: Аналогично находим радиус окружности, вписанной в треугольник ДВС: r₁=1,290994. Разность r - r₁ = 0,645498. По теореме косинусов находим величину угла С: . С = 0.812756 радиан = 46.56746°. Центры окружностей с радиусами r и r₁ лежат на биссектрисе угла С. Тангенс угла С/2 = tg(46.56746 / 2) = tg 23.28373° = 0,43033. Тогда длина отрезка КМ равна: КМ = (r-r₁) / tg(C/2) = 0,645498 / 0,43033 = 1,5.
.
.
-----------
Центр окружности лежит на АВ, следовательно, АD- диаметр.
Проведем радиус ОС .
Т.к. С - точка касания, ОС ⊥ АС.
Треугольник АОС - прямоугольный.
ОС=ОВ=ОD=r, АD:DB=1:2 ⇒
AD=DO=OB=r
В прямоугольном треугольнике АСD гипотенуза
AO=2 r=2 OC ⇒
sin∠OАС= OС:АО=1/2 ⇒
Угол ОАС=30º,⇒
угол АОС=60º, а смежный с ним угол ВОС=180º-60º-120º
Острые углы равнобедренного треугольника ВОС равны (180º-120º):2=30º⇒
Больший угол АСВ треугольника АВС равен
∠АСВ=∠АСО+∠ВСО=90º+30º=120º