Question

Сколько единиц в двоичной записи числа 8^415 – 4^162 + 2^543 – 25?

с полным и развернутым ответом.

Answer 1

Давайте разберемся с данной задачей поэтапно.

Шаг 1: Найдем двоичную запись чисел 8, 4, 2 и 25.
Десятичное число 8 имеет двоичную запись 1000.
Десятичное число 4 имеет двоичную запись 100.
Десятичное число 2 имеет двоичную запись 10.
Десятичное число 25 имеет двоичную запись 11001.

Шаг 2: Вычислим 8^415, 4^162, 2^543.
8^415:
Поскольку 8 (1000) возводится в степень 415, нам нужно умножить его самого на себя 414 раз и потом умножить на 8 еще один раз.
1000 * 1000 * 1000 * ... * 1000 * 1000 * 1000 = 8 в степени 414 = 2^414 * 2^414 * 2^414 * 2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *8
Теперь у нас есть набор из 415 чисел 2^414 и число 8. Распределим их в отдельные группы по 8 чисел (по количеству цифр в двоичной записи числа 8).
(2^414 * 2^414 * 2^414 * 2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414) * (2^414 * 2^414 * 2^414 * 2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414) * ... * (2^414 * 2^414 * 2^414 * 2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414) * (2^414 * 2^414 * 2^414 * 2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414) * 8
В каждой группе получится число, состоящее только из цифры 1, так как каждое из чисел 2^414 * 2^414 * 2^414 * 2^414 *2^414 *2^414 *2^414 *2^414 равно 100000000000000...000 (415 раз). Количество групп будет равно 415. Добавим число 8.
Количество единиц в двоичной записи числа 8^415 равно 415 * 415 + 1 = 172225 + 1 = 172226.

4^162:
Аналогично разобьем число 4 на группы по 8 чисел.
(2^162 * 2^162 * 2^162 * 2^162 *2^162 *2^162 *2^162 *2^162) * (2^162 * 2^162 * 2^162 * 2^162 *2^162 *2^162 *2^162 *2^162) * ... * (2^162 * 2^162 * 2^162 * 2^162 *2^162 *2^162 *2^162 *2^162) * (2^162 * 2^162 * 2^162 * 2^162 *2^162 *2^162 *2^162 *2^162)
Все числа в каждой группе равны 100000000000000...000 (каждое из чисел 2^162 * 2^162 * 2^162 * 2^162 *2^162 *2^162 *2^162 *2^162 равно 100000000000000...000 162 раза).
Количество групп равно 162. В каждой группе 162 * 8 = 1296 единиц.
Количество единиц в двоичной записи числа 4^162 равно 162 * 1296 = 209952.

2^543:
Аналогично разобьем число 2 на группы по 8 чисел.
(2^543) * (2^543) * (2^543) * (2^543) * (2^543) * (2^543) * (2^543) * (2^543)
Все числа в каждой группе равны 10000000...0000 (каждое из чисел 2^543 равно 10000000...0000 543 раза).
Количество групп равно 543. В каждой группе 543 * 8 = 4344 единицы.
Количество единиц в двоичной записи числа 2^543 равно 543 * 4344 = 2355072.

Шаг 3: Вычтем 25 из полученной суммы.
172226 + 209952 + 2355072 - 25 = 2732225 - 25 = 2732200.

Ответ: В двоичной записи числа 8^415 – 4^162 + 2^543 – 25 содержится 2732200 единиц.