Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать камней из одной из куч (по своему выбору) 1 или уменьшить количество камней в куче в 2 раза, оставив в куче целую часть от деления изначального количества камней на 2. Например, пусть камней в одной куче 80, а в другой 89; такую позицию в игре будем обозначать (80, 89). Тогда за один ход можно получить любую из 4-х позиций: (40, 89), (79, 89), (80, 44), (80, 88). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 15. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 15 или меньше камней. В начальный момент в первой куче камней было 13, во второй куче – S (3 ≤ S).
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Задание 1. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Задание 2. Найдите все значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Запишите через пробел значения S от меньшего к большему.
Задание 3. Найдите такое значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если искомых значений S несколько, укажите любое из них.
Площадь треугольника: S = 1/2*a*b*sin C
Отсюда: sin C = 2*S/(a*b); cos C = sqrt(1 - sin^2 C)
tg C = sin C / cos C; C = atan(tg C)
Теорема косинусов: c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos C)
Площадь: S = c*h/2; отсюда h = 2*S/c
Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C
Отсюда: sin A = a/c*sin C; sin B = b/c*sin C
cos A = sqrt(1 - sin^2 A); cos B = sqrt(1 - sin^2 B)
tg A = sin A/cos A; A = atan(tg A);
tg B = sin B/cos B; B = atan(tg B)
Периметр: P = a + b + c
Теперь записываем в Паскале
singam := 2*S/(a*b); cosgam = sqrt(1 - singam*singam);
tangam := singam/cosgam; Gamma := atan(tangam);
c := sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*cosgam); h := 2*S/c;
P := a + b + c;
sinalp = a/c*singam; cosalp = sqrt(1 - sinalp*sinalp);
tanalp := sinalp/cosalp; Alpha := atan(tanalp);
sinbet = b/c*singam; cosbet = sqrt(1 - sinbet*sinbet);
tanbet := sinbet/cosbet; Beta := atan(tanbet);