Question

Распределение вероятностей дискретной случайной величины имеет вид:
X
P 0,1 0,12 0,1 0,1 0,1 0,09 0,07 0,32
Определить число N значений случайной величины, при которых
энтропия равномерного распределения равна энтропии заданного
распределения.

Answer 1

Прежде чем перейти к решению задачи, давайте разберемся, что такое энтропия и как ее вычислить.

Энтропия – это мера неопределенности или неуверенности в значениях случайной величины. Чем больше неопределенность, тем выше энтропия. Формула для расчета энтропии дискретной случайной величины X имеет вид:
H(X) = -ΣP(x) * log₂(P(x)),
где H(X) – энтропия случайной величины X, P(x) – вероятность значения x.

Теперь приступим к решению задачи.

У нас дано распределение вероятностей дискретной случайной величины X. Мы должны найти число N значений случайной величины, при которых энтропия равномерного распределения будет равна энтропии заданного распределения.

Энтропия равномерного распределения достигает максимальной величины, когда все значения случайной величины равновероятны. Если величина X имеет N значений, то вероятность каждого значения будет равна 1/N.

Теперь найдем энтропию равномерного распределения.
H_unif = -ΣP(x_unif) * log₂(P(x_unif)),
где P(x_unif) = 1/N.

Таким образом, энтропия равномерного распределения будет равна:
H_unif = -Σ(1/N) * log₂(1/N).

Заметим, что в сумме Σ(1/N) мы будем иметь N слагаемых, каждое равное 1/N. Поэтому мы можем переписать формулу:
H_unif = -N * (1/N) * log₂(1/N).

Упростим формулу:
H_unif = -log₂(1/N) = log₂(N).

Теперь мы знаем, что энтропия равномерного распределения равна log₂(N).

Для нахождения N, при которых энтропия равномерного распределения будет равна энтропии заданного распределения, мы должны найти такое N, при котором H_unif = H(X).

Итак, перепишем это в виде уравнения:
log₂(N) = H(X).

Нам необходимо решить это уравнение, чтобы найти значение N.

Применяем логарифм с основанием 2 к обеим сторонам уравнения:
N = 2^(H(X)).

Теперь у нас есть формула для определения значения N.

Давайте посчитаем энтропию заданного распределения X и найдем значение N.

Для этого мы умножаем каждую вероятность значения X на логарифм с основанием 2 от этой вероятности и складываем все полученные значения:
H(X) = (-0.1 * log₂(0.1)) + (-0.12 * log₂(0.12)) + (-0.1 * log₂(0.1)) + (-0.1 * log₂(0.1)) + (-0.1 * log₂(0.1)) + (-0.09 * log₂(0.09)) + (-0.07 * log₂(0.07)) + (-0.32 * log₂(0.32)).

Производим все необходимые вычисления и получаем:
H(X) ≈ 2.6925.

Теперь мы можем подставить значение энтропии заданного распределения в формулу для значения N:
N = 2^(2.6925) ≈ 6.59.

Итак, число N значений случайной величины, при которых энтропия равномерного распределения будет равна энтропии заданного распределения, округляется до 7 (так как количество значений должно быть целым числом).