Question

Упростить логическое выражение: 1) A+B+!A

2)(A#B)+(A#!B)

3)(A+B)#(A+C)

! - отрицание (не)
+ - дизъюнкция (или)
# - исключающее или, сумма по модулю 2 (XOR)

(Заранее большое)

Answer 1

$A+B+\lnot A=(A+\lnot A)+B=1+B=1$

(закон исключенного третьего: $A+\lnot A=1$; операция с константой: $1+B=1$)

$(A\oplus B)+(A\oplus\overline B)=A\overline B+\overline AB+AB+\overline A\cdot \overline B=\\=(A\overline B+AB)+(\overline A B+\overline A\cdot\overline B)=A(B+\overline B)+\overline A(B+\overline B)=A+\overline A=1$

(заменяю $x\oplus y$ на $x\overline y+\overline xy$; дальше, пользуясь сочетательным и распределительным законами и законом двойного отрицания, применяю закон исключенного третьего)

$(A+B)\oplus(A+C)=(A+B)\cdot\overline{A+C}+\overline{A+B}\cdot(A+C)=\\=(A+B)\cdot\overline A\cdot\overline C+(A+C)\cdot\overline A\cdot\overline B=\\=(A\overline A)\cdot\overline C+\overline A\cdot B\cdot\overline C+(A\overline A)\cdot \overline B+\overline A\cdot \overline B\cdot C=\overline A\cdot B\cdot\overline C+\overline A\cdot \overline B\cdot C=\\=\overline A(B\overline C+\overline B C)=\overline A(B\oplus C)$

(всё вышеперечисленное, только добавляю законы де Моргана для раскрытия скобок $\overline{x+y}=\overline x \cdot\overline y$)