Question

На числовой прямой даны два отрезка: P = [12, 28] и Q = [15, 30]. Отрезок A таков, что формула ((x ∈ P) ⇒ (x ∈ A)) ∧ ((x ∉ Q) ∨ (x ∈ A)) истинна при любом значении переменной x. Определите наименьшую возможную длину отрезка A. Подсказки:
1. Обрати внимание, что в этом задании требуется найти саму длину отрезка А, минимальную.
2. Определение импликации: а ⇒ b = отр. a v b
3. Для этого задания импликация работает так:
(P ⇒ A) ∧ ( отр. Q v A) = ( отр. P v A) ∧ ( отр. Q v A)

Answer 1

Для решения этой задачи, нам необходимо разобраться в определении импликации и использовать его для нахождения наименьшей возможной длины отрезка A. Импликация (a ⇒ b) может быть определена как отрезок, который является объединением отрезков a и b. То есть a ⇒ b = a v b. Используя подсказки, даны отрезки P = [12, 28] и Q = [15, 30]. Нам необходимо найти наименьшую возможную длину отрезка A, учитывая формулу ((x ∈ P) ⇒ (x ∈ A)) ∧ ((x ∉ Q) ∨ (x ∈ A)). Для начала, определим какие значения находятся в отрезке P. В отрезке P содержатся все числа от 12 до 28 включительно. Затем, определим какие значения находятся в отрезке Q. В отрезке Q содержатся все числа от 15 до 30 включительно. Теперь, используя определение импликации, объединим отрезки P и A: отрезок PA = P v A. Объединение отрезков P и A означает, что отрезок А будет содержать значения из отрезка P, а также возможно еще некоторые дополнительные значения. Следующий шаг - объединение отрезков Q и A: отрезок QA = Q v A. Объединение отрезков Q и A означает, что отрезок A будет содержать значения, которые не содержатся в отрезке Q или что отрезок A может содержать дополнительные значения, помимо тех, что содержатся в отрезке Q. Наконец, согласно заданию, должна выполняться формула ((x ∈ P) ⇒ (x ∈ A)) ∧ ((x ∉ Q) ∨ (x ∈ A)). Это значит, что отрезок A должен удовлетворять условиям формулы. Следовательно, отрезок A будет представлять собой пересечение отрезков PA и QA: отрезок A = PA ∩ QA. Наконец, чтобы найти наименьшую возможную длину отрезка A, мы должны определить его границы - минимальное и максимальное значение отрезка A. Для этого, найдем пересечение отрезков P и Q: отрезок P ∩ Q. Отрезок P ∩ Q будет содержать только значения, которые находятся как в отрезке P, так и в отрезке Q. В данном случае, пересечение отрезков P и Q равно отрезку [15, 28]. Теперь, найдем пересечение отрезка P ∩ Q с отрезком A: отрезок (P ∩ Q) ∩ A. Определим границы отрезка (P ∩ Q) ∩ A. В данном случае, пересечение отрезка [15, 28] с отрезком A будет иметь границы 15 и 28. Итак, наименьшая возможная длина отрезка A равна 28 - 15 = 13. Ответ: наименьшая возможная длина отрезка A равна 13.