Question

Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение (x & 21 =0) + ( (x & 11 =0)⇒ (x & A≠ 0) )
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Answer 1

Для решения данной задачи, школьнику следует знать следующие понятия и правила:
1. Операция побитового И (&) - это логическая операция, которая применяется к двоичным числам. Она возвращает результат, в котором каждый бит результирующего числа будет равен 1 только в том случае, если соответствующие биты обоих чисел равны 1, в противном случае бит будет равен 0.
2. Выражение "A = B" обозначает, что значение A равно значению B.
3. Выражение "A ≠ B" обозначает, что значение A не равно значению B.
4. Тождественно истинное выражение - это выражение, которое принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x.

Теперь приступим к решению задачи.

Обозначим наше выражение как F(x) = (x & 21 = 0) + ( (x & 11 = 0)⇒ (x & A ≠ 0) ), где x - переменная, а = - операция побитового И.

1. Решим сначала первое слагаемое (x & 21 = 0).
Проверим, при каких значениях x выражение будет иметь значение 0 (ложное).
Выпишем таблицу истинности для побитового И:
x | 21 | x & 21
--------------
0 | 10101 | 00000
1 | 10101 | 00101
2 | 10101 | 00000
3 | 10101 | 00101
4 | 10101 | 00000
5 | 10101 | 00101
6 | 10101 | 00000
7 | 10101 | 00101
8 | 10101 | 00000
9 | 10101 | 00101
.....

Из таблицы видно, что значение x & 21 равно 0 для каждого второго числа (2, 4, 6, ...).
Мы можем записать это следующим образом:
x & 21 = 0 ⇔ (x mod 2 = 0), где mod - операция остатка от деления.

2. Теперь решим второе слагаемое ( (x & 11 = 0)⇒ (x & A ≠ 0) ).
Это выражение можно переписать следующим образом:
(x & 11 = 0)⇒ (x & A ≠ 0) ⇔ (¬ (x & 11 = 0)) ∨ (x & A ≠ 0), где ¬ - операция отрицания (отрицание значения выражения).

Проверим, при каких значениях x выражение будет иметь значение 0 (ложное).
Рассмотрим два случая:
- Если (x & 11 = 0) имеет значение 1 (истина), то (x & A ≠ 0) должно иметь значение 1 (истина).
Это означает, что A должно быть больше или равно 11, чтобы гарантировать истинность этого случая.
- Если (x & 11 = 0) имеет значение 0 (ложное), то (x & A ≠ 0) может иметь любое значение, и это не ограничивает значение A.

Таким образом, чтобы обеспечить истинность выражения во всех случаях, нам нужно выбрать наименьшее значение A, которое будет больше или равно 11.

3. Получили два условия:
a) x & 21 = 0 ⇔ (x mod 2 = 0)
b) A ≥ 11

4. Чтобы определить наименьшее натуральное число A, удовлетворяющее обоим условиям, мы можем просто выбрать значение 11.
В этом случае, независимо от значения x, наше исходное выражение F(x) будет принимать значение 1, что делает его тождественно истинным для любого натурального значения переменной x.

Таким образом, наименьшее натуральное число A, при котором выражение (x & 21 =0) + ( (x & 11 =0)⇒ (x & A≠ 0) ) тождественно истинно, равно 11.