Question

11. На числовой прямой даны два отрезка: P = [8, 11] и Q = [15, 22]. Отрезок A таков, что формула ((x не P) + (x A)) * ((x не A) → (x не Q))
истинна при любом значении переменной x. Какое наименьшее количество точек, соответствующих нечётным целым числам, может содержать отрезок A?

Answer 1

Для решения данной задачи, мы должны понять какие значения переменной x удовлетворяют условию ((x не P) + (x A)) * ((x не A) → (x не Q)), то есть привести формулу к виду, который понятен и позволяет найти ответ.

Давайте разберемся с каждой частью формулы по отдельности:

1. "x не P" означает, что x не принадлежит отрезку P = [8, 11]. То есть x < 8 или x > 11.

2. "x A" означает, что x принадлежит отрезку A.

3. "x не A" означает, что x не принадлежит отрезку A.

4. "x не Q" означает, что x не принадлежит отрезку Q = [15, 22]. То есть x < 15 или x > 22.

Далее, чтобы формула ((x не P) + (x A)) * ((x не A) → (x не Q)) была истинной при любом значении переменной x, необходимо выполнение двух условий:

1. ((x не P) + (x A)) = 1, то есть хотя бы одно из двух выражений должно быть истинно.
2. Если (x не A) истинно, то и (x не Q) тоже должно быть истинно.

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты для отрезка A:

1. Если взять отрезок A = [8, 11], то любое значение x не будет удовлетворять условию (x не A) = 0, так как x принадлежит отрезку A. При таком варианте имеем ((x не P) + (x A)) = 0 + 1 = 1, что соответствует первому условию. Для второго условия, нам нужно проверить, что (x не Q) = 1. Для этого проверим x = 15 и x = 22. При x = 15 получаем ((x не A) → (x не Q)) = (1 → 1) = 1, что соответствует второму условию. Аналогично, при x = 22 получаем ((x не A) → (x не Q)) = (1 → 1) = 1. Поэтому данный вариант отрезка A не подходит.

2. Если взять отрезок A = [12, 14], то ((x не P) + (x A)) = 1 + 0 = 1, что соответствует первому условию, так как x не принадлежит отрезку P. Для второго условия, нам нужно проверить, что (x не Q) = 1. Проверим значения x = 15 и x = 22. При x = 15 получаем ((x не A) → (x не Q)) = (1 → 1) = 1, что соответствует второму условию. Аналогично, при x = 22 получаем ((x не A) → (x не Q)) = (1 → 1) = 1. Поэтому данный вариант отрезка A также не подходит.

3. Если взять отрезок A = [23, 30], то ((x не P) + (x A)) = 1 + 0 = 1, что соответствует первому условию, так как x не принадлежит отрезку P. Для второго условия, нам нужно проверить, что (x не Q) = 1. Проверим значения x = 15 и x = 22. При x = 15 получаем ((x не A) → (x не Q)) = (1 → 1) = 1, что соответствует второму условию. Аналогично, при x = 22 получаем ((x не A) → (x не Q)) = (1 → 1) = 1. Поэтому данный вариант отрезка A тоже не подходит.

Теперь рассмотрим случай, когда отрезок A = [12, 15]. В этом случае ((x не P) + (x A)) = 1 + 1 = 1, что соответствует первому условию, так как x не принадлежит отрезку P. Для второго условия, нам нужно проверить, что (x не Q) = 1. Проверим значения x = 15 и x = 22. При x = 15 получаем ((x не A) → (x не Q)) = (0 → 1) = 1, что соответствует второму условию. При x = 22 получаем ((x не A) → (x не Q)) = (1 → 1) = 1. В данном случае оба условия выполняются.

Таким образом, наименьшее количество точек, соответствующих нечётным целым числам, которое может содержать отрезок A, равно 4 (12, 13, 14, 15).