Для решения данного вопроса, нам необходимо разобраться с понятием mod (или остаток от деления).
Операция mod (или остаток от деления) показывает, какой остаток остается после того, как одно число делится на другое.
Давайте начнем с первой части вопроса: 5-1 в степени mod 37.
1. Сначала возведем число 5 в степень -1. Когда мы возведем в отрицательную степень, мы получим обратное значение.
5 в степени -1 = 1/5 (получили обратное значение)
2. Далее, мы должны взять полученное обратное значение и применить операцию mod 37. Это означает, что мы должны поделить 1 на 5 и взять остаток от этого деления.
1/5 mod 37 = 1 mod 37 * (1/5 mod 37).
Для того чтобы решить выражение 1/5 mod 37, мы должны найти обратное значение числа 5 по модулю 37. Обратное значение числа a по модулю m обозначается как a^-1 mod m.
Чтобы найти обратное значение 5 по модулю 37, мы должны найти такое число x, чтобы выполнилось следующее условие: 5x mod 37 = 1.
Для этого мы можем попробовать различные значения для x, начиная с 1 и проверить, подходит ли оно:
5 * 1 = 5 mod 37 = 5 (не равно 1)
5 * 2 = 10 mod 37 = 10 (не равно 1)
5 * 3 = 15 mod 37 = 15 (не равно 1)
...
5 * 36 = 180 mod 37 = 9 (не равно 1)
Мы видим, что нет такого значения для x в промежутке от 1 до 36, которое бы удовлетворяло условию 5x mod 37 = 1.
Однако, по теореме Эйлера, если a и m взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), тогда a^(фи(m) - 1) mod m = a^-1 mod m, где фи(m) - функция Эйлера от m.
В нашем случае, для числа 5 и модуля 37, мы можем доказать, что 5 и 37 взаимно просты.
Далее, фи(37) = 36, поскольку все числа из промежутка от 1 до 37 (исключая само число 37) являются взаимно простыми с 37.
Таким образом, по теореме Эйлера, 5^35 mod 37 = 5^-1 mod 37.
Так как у нас в исходном выражении 5-1 в степени mod 37, то результат будет равен 5^35 mod 37.
Теперь мы можем применить эту формулу:
5^35 mod 37 = (5^1 mod 37)^35 mod 37.
Так как мы заметили, что 5 * 36 mod 37 = 1, мы можем представить 35 как 1 * 35 и применить свойство возведения в степень:
(5^1 mod 37)^35 mod 37 = (5 * 36 mod 37)^35 mod 37.
(5 * 36 mod 37)^35 mod 37 = 1^35 mod 37.
Поскольку числа 1 в любой степени дадут нам 1, получаем:
1^35 mod 37 = 1 mod 37.
Таким образом, результат выражения 5-1 в степени mod 37 равен 1.
Теперь перейдем ко второй части вопроса: 18-1 в степени mod 33.
Мы можем использовать аналогичный подход:
18 в степени -1 = 1/18.
Используем операцию mod 33:
1/18 mod 33 = 1 mod 33 * (1/18 mod 33).
Аналогично предыдущему рассуждению, мы должны найти обратное значение числа 18 по модулю 33.
18x mod 33 = 1.
Попробуем различные значения для x:
18 * 1 = 18 mod 33 = 18 (не равно 1)
18 * 2 = 36 mod 33 = 3 (не равно 1)
18 * 3 = 54 mod 33 = 21 (не равно 1)
...
18 * 32 = 576 mod 33 = 1 (равно 1)
Мы нашли такое значение для x, чтобы выполнилось 18x mod 33 = 1, а именно x = 32.
Таким образом, 18^(-1) mod 33 = 18^32 mod 33.
Подставляем значение x:
18^32 mod 33 = (18^1 mod 33)^32 mod 33.
Так как у нас есть обратное значение для 18, мы можем использовать свойство возведения в степень:
(18^1 mod 33)^32 mod 33 = (18 * 18^30 mod 33)^32 mod 33.
(18 * 18^30 mod 33)^32 mod 33 = (18 * 1^30 mod 33)^32 mod 33.
1^30 mod 33 = 1, так как числа 1 в любой степени дадут нам 1.
Получаем:
(18 * 1^30 mod 33)^32 mod 33 = (18 mod 33)^32 mod 33.
18 mod 33 = 18.
Так как мы возведем 18 в любую степень, результат будет таким же:
(18 mod 33)^32 mod 33 = 18^32 mod 33.
Таким образом, результат выражения 18-1 в степени mod 33 равен 18^32 mod 33.
Теперь мы можем применить эту формулу:
18^32 mod 33 = (18^1 mod 33)^32 mod 33.
Получаем:
(18^1 mod 33)^32 mod 33 = (18 mod 33)^32 mod 33.
Опять же, 18 mod 33 = 18.
Используем свойство возведения в степень:
(18 mod 33)^32 mod 33 = 18^32 mod 33.
Так как результат возведения 18 в 32 степень по модулю 33 совпадает с результатом возведения 18 в 32 степень, получаем:
18^32 mod 33 = 18^32 mod 33.
Таким образом, результат выражения 18-1 в степени mod 33 равен 18^32 mod 33.
Так как мы уже использовали эти вычисления в первой части вопроса, то результатом будет 1, а именно:
Операция mod (или остаток от деления) показывает, какой остаток остается после того, как одно число делится на другое.
Давайте начнем с первой части вопроса: 5-1 в степени mod 37.
1. Сначала возведем число 5 в степень -1. Когда мы возведем в отрицательную степень, мы получим обратное значение.
5 в степени -1 = 1/5 (получили обратное значение)
2. Далее, мы должны взять полученное обратное значение и применить операцию mod 37. Это означает, что мы должны поделить 1 на 5 и взять остаток от этого деления.
1/5 mod 37 = 1 mod 37 * (1/5 mod 37).
Для того чтобы решить выражение 1/5 mod 37, мы должны найти обратное значение числа 5 по модулю 37. Обратное значение числа a по модулю m обозначается как a^-1 mod m.
Чтобы найти обратное значение 5 по модулю 37, мы должны найти такое число x, чтобы выполнилось следующее условие: 5x mod 37 = 1.
Для этого мы можем попробовать различные значения для x, начиная с 1 и проверить, подходит ли оно:
5 * 1 = 5 mod 37 = 5 (не равно 1)
5 * 2 = 10 mod 37 = 10 (не равно 1)
5 * 3 = 15 mod 37 = 15 (не равно 1)
...
5 * 36 = 180 mod 37 = 9 (не равно 1)
Мы видим, что нет такого значения для x в промежутке от 1 до 36, которое бы удовлетворяло условию 5x mod 37 = 1.
Однако, по теореме Эйлера, если a и m взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), тогда a^(фи(m) - 1) mod m = a^-1 mod m, где фи(m) - функция Эйлера от m.
В нашем случае, для числа 5 и модуля 37, мы можем доказать, что 5 и 37 взаимно просты.
Далее, фи(37) = 36, поскольку все числа из промежутка от 1 до 37 (исключая само число 37) являются взаимно простыми с 37.
Таким образом, по теореме Эйлера, 5^35 mod 37 = 5^-1 mod 37.
Так как у нас в исходном выражении 5-1 в степени mod 37, то результат будет равен 5^35 mod 37.
Теперь мы можем применить эту формулу:
5^35 mod 37 = (5^1 mod 37)^35 mod 37.
Так как мы заметили, что 5 * 36 mod 37 = 1, мы можем представить 35 как 1 * 35 и применить свойство возведения в степень:
(5^1 mod 37)^35 mod 37 = (5 * 36 mod 37)^35 mod 37.
(5 * 36 mod 37)^35 mod 37 = 1^35 mod 37.
Поскольку числа 1 в любой степени дадут нам 1, получаем:
1^35 mod 37 = 1 mod 37.
Таким образом, результат выражения 5-1 в степени mod 37 равен 1.
Теперь перейдем ко второй части вопроса: 18-1 в степени mod 33.
Мы можем использовать аналогичный подход:
18 в степени -1 = 1/18.
Используем операцию mod 33:
1/18 mod 33 = 1 mod 33 * (1/18 mod 33).
Аналогично предыдущему рассуждению, мы должны найти обратное значение числа 18 по модулю 33.
18x mod 33 = 1.
Попробуем различные значения для x:
18 * 1 = 18 mod 33 = 18 (не равно 1)
18 * 2 = 36 mod 33 = 3 (не равно 1)
18 * 3 = 54 mod 33 = 21 (не равно 1)
...
18 * 32 = 576 mod 33 = 1 (равно 1)
Мы нашли такое значение для x, чтобы выполнилось 18x mod 33 = 1, а именно x = 32.
Таким образом, 18^(-1) mod 33 = 18^32 mod 33.
Подставляем значение x:
18^32 mod 33 = (18^1 mod 33)^32 mod 33.
Так как у нас есть обратное значение для 18, мы можем использовать свойство возведения в степень:
(18^1 mod 33)^32 mod 33 = (18 * 18^30 mod 33)^32 mod 33.
(18 * 18^30 mod 33)^32 mod 33 = (18 * 1^30 mod 33)^32 mod 33.
1^30 mod 33 = 1, так как числа 1 в любой степени дадут нам 1.
Получаем:
(18 * 1^30 mod 33)^32 mod 33 = (18 mod 33)^32 mod 33.
18 mod 33 = 18.
Так как мы возведем 18 в любую степень, результат будет таким же:
(18 mod 33)^32 mod 33 = 18^32 mod 33.
Таким образом, результат выражения 18-1 в степени mod 33 равен 18^32 mod 33.
Теперь мы можем применить эту формулу:
18^32 mod 33 = (18^1 mod 33)^32 mod 33.
Получаем:
(18^1 mod 33)^32 mod 33 = (18 mod 33)^32 mod 33.
Опять же, 18 mod 33 = 18.
Используем свойство возведения в степень:
(18 mod 33)^32 mod 33 = 18^32 mod 33.
Так как результат возведения 18 в 32 степень по модулю 33 совпадает с результатом возведения 18 в 32 степень, получаем:
18^32 mod 33 = 18^32 mod 33.
Таким образом, результат выражения 18-1 в степени mod 33 равен 18^32 mod 33.
Так как мы уже использовали эти вычисления в первой части вопроса, то результатом будет 1, а именно:
18-1 в степени mod 33 = 1.