Метод Ньютона (метод Ньютона-Рафсона, метод касательных) требует для нахождения корня нелинейного уравнения выполнения достаточно большого количества условий. В качестве компенсации он (в общем случае) сходится быстрее любого другого численного метода нахождения корня уравнения F(x)=0. Для функции F(x) должен быть определен интервал изоляции корня [a;b], такой что на нем: а) F(a) и F(b) имеют разные знаки; б) F(x) определена и непрерывна; в) F'(x) ≠ 0 г) F"(x) определена всюду и имеет постоянный знак
1. Перепишем уравнение в более привычном виде и сделаем преобразования, необходимые для нахождения интервала изоляции корня [a;b], а также проверки выполнения на нем условий а) - г)
Степенная функция при натуральном основании и вещественном показателе степени всюду положительна, является непрерывной и монотонно возрастающей. Комбинация показательных функций будет также обладать этими свойствами. При х=0 (считать удобно) F(x) = 11+3-0.9 = 13.1 При х=-1 (тоже удобно) F(x) = 11/20 +3/5 - 9/10 = 1/4 (почти ноль!) При х=-2 F(x) = 11/400 + 3/25 - 9/10 = -301/400 ≈ - 0.7525 Условие а) выполнено, интервал изоляции корня найден, a=-2, b=-1. Прочие условия на этом интервале также выполняется в соответствии с написанным выше.
2. В качестве начального приближения выберем точку, находящуюся в середине интервала изоляции. х₀ = -1.5
4. Определим условие завершения поиска корня. В соответствии с известной формулой (например, см. стр. 41 в книге Гловацкая А.П. Методы и алгоритмы вычислительной математики. Учеб. пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1999), длина интервала изоляции корня связана с погрешностью следующим образом: F'(a) = 11/400*ln(20)+3/25*ln(5) ≈ 0.275515187014827; F"(b) = 11/20*ln(20)²+3/5*ln(5)² ≈ 6.49010075653527 Величина интервала для х при ε=10⁻⁶ будет составлять приблизительно 0.0002914.
5. Составим программу на языке программирования PascalABC.NET 3.3. и найдем корень уравнения.
// PascalABC.NET 3.3, сборка 1579 от 18.11.2017 // Внимание! Если программа не работает, обновите версию!
begin var f:real->real:=x->11*Power(20,x)+3*Power(5,x)-0.9; var f1:real->real:=x->11*Power(20,x)*Ln(20)+3*Power(5,x)*Ln(5); var f2:real->real:=x->11*Power(20,x)*Sqr(Ln(20))+3*Power(5,x)*Sqr(Ln(5)); var (a,b,eps):=(-2.0,-1.0,1e-6); var d:=Sqrt(2*f1(a)*eps/f2(b)); var xn1:=(a+b)/2; var xn:real; repeat (xn,xn1):=(xn1,xn-f(xn)/f1(xn)); until Abs(xn-xn1)<=d; Writeln(xn1:0:6); end.
Польза: Домашку можно списать))) 1. Можно быстро узнать необходимую информацию; 2. Можно общаться с людьми из других мест; 3. Продвигать бизнес(реклама, видеоконтент и т.д.); 4. Можно заработать много денег, ведя блог или канал 5. Через тот же блог или канал можно творчески самовыражаться.
Вред: 1. Вред компьютера и др. гаджетов для зрения 2. Зависимость от соц. сетей(лайков, комментов,репостов); 3. Трата времени впустую в ленте вк и инст; 4. Через интернет за нами всеми могут тайно следить, что нарушает наши права 5. Распространение контента 18+(жестокость, насилие и тд, вы поняли)
![\displaystyle |x_{n+1}-x_n|\leq\sqrt{ \frac{2m\epsilon}{M}}, \\ \displaystyle m=|min(F'[a,b]|, \quad M=|max(F''[a,b]|](/tpl/images/0824/8156/48253.png)
Редактирования изображений