вероятность попадания в цель стрелка при одном выстреле равна 0.15 .стрелок производит по цели k- независимых выстрелов. После чего поступает сообщение поражена цель или нет, если цель поражена, стрельба прекращается. При каком k количество информации содержащиеся в сообщении будет наибольшим
Количество информации в данном контексте определяется по формуле Шеннона:
I = -log2(p)
где I - количество информации, p - вероятность события.
Для каждого выстрела вероятность поражения цели равна 0.15, а вероятность непоражения цели равна (1 - 0.15) = 0.85.
Произведение вероятностей для каждого из k выстрелов будет равно:
P(k) = (0.15)^k * (0.85)^(k - 1)
Чтобы найти количество информации для данного количества выстрелов, нужно взять логарифм с основанием 2 от P(k):
I = -log2(P(k))
I = -log2((0.15)^k * (0.85)^(k - 1))
I = -(k * log2(0.15) + (k - 1) * log2(0.85))
Теперь можно проанализировать, при каком k полученное выражение будет наибольшим.
Для удобства вычислений, обозначим log2(0.15) как a и log2(0.85) как b.
I = -(ka + (k - 1)b)
Теперь можно разложить выражение на сумму и упростить:
I = -ka - kb + b
Теперь возьмем производную по k и приравняем ее к нулю, чтобы найти значение k, при котором количество информации будет наибольшим:
dI/dk = -a - b = 0
-a = b
Таким образом, чтобы найти количество информации, при котором оно будет наибольшим, необходимо найти такое k, при котором log2(0.15) будет равно log2(0.85).
Находим значения a и b:
a = log2(0.15) ≈ -2.737
b = log2(0.85) ≈ -0.230
Так как полученные значения не равны, но имеют противоположные знаки, то при k = 1 количество информации будет наибольшим.
Таким образом, количество информации будет наибольшим, когда стрелок сделает всего один выстрел.