Question

Логическое выражение, являющееся истинным при любом наборе входящих в него переменных, называется тождест-
венно истинным. Убедитесь, что следующие логические вы-
ражения являются тождественно истинными:
1) А (В - А);
2) (А -> B) - (В - А);
3) (A & C B) - (C -> (A VB-B & C)).

Answer 1

Добрый день! Рад видеть вас в классе. Давайте разберемся с данными логическими выражениями и убедимся, что они являются тождественно истинными.

1) Выражение А (В - А):

Для начала выпишем все возможные значения переменных А и В и рассмотрим результат их подстановки в выражение:

А | В | В - А | А (В - А)
----------------------
0 | 0 | 0 | 0
0 | 1 | 1 | 0
1 | 0 | -1 | 0
1 | 1 | 0 | 0

Мы видим, что независимо от значений переменных А и В, значение А (В - А) всегда равно 0. Таким образом, первое выражение является тождественно истинным.

2) Выражение (А -> B) - (В - А):

Теперь аналогично рассмотрим все возможные значения переменных А и В:

А | B | В - А | А -> B | (А -> B) - (В - А)
-----------------------------------------
0 | 0 | 0 | 1 | 1
0 | 1 | 1 | 1 | 0
1 | 0 | -1 | 0 | 1
1 | 1 | 0 | 1 | 1

Мы видим, что независимо от значений переменных А и В, значение (А -> B) - (В - А) всегда равно 1. Таким образом, второе выражение является тождественно истинным.

3) Выражение (A & C B) - (C -> (A V B & C)):

Рассмотрим все возможные значения переменных А, В и С:

А | B | C | A & C | B & C | A V B & C | C -> (A V B & C) | (A & C B) - (C -> (A V B & C))
-----------------------------------------------------------------------------------
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0

Мы видим, что независимо от значений переменных А, В и С, значение (A & C B) - (C -> (A V B & C)) всегда равно 0. Таким образом, третье выражение также является тождественно истинным.

Все три рассмотренных логических выражения являются тождественно истинными, так как независимо от значений переменных, результат каждого выражения всегда равен 1.