Для решения этой задачи нам нужно разделить ее на несколько подзадач и последовательно решить их.
1. Найдем количество способов выбрать различные цифры для шестнадцатеричного числа. В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и буквы от A до F, что в сумме дает 16 возможных цифр. Количество способов выбрать первую цифру: 16. Количество способов выбрать вторую цифру: 15 (так как мы уже выбрали одну цифру и осталось только 15 неиспользованных). Аналогично, выбрать третью цифру можно 14 способами, а четвертую - 13 способами. Итак, всего способов выбрать различные цифры для шестнадцатеричного числа равно 16 * 15 * 14 * 13.
2. Далее нужно посчитать количество способов переставить эти цифры. Так как нам изначально дано четыре цифры, а порядок их следования в числе важен, мы можем использовать формулу для перестановок: n!/(n-k)!, где n - количество элементов, а k - количество выбранных элементов. В нашем случае n=4 и k=4, поэтому количество способов переставить цифры равно 4!/(4-4)! = 4!.
3. Теперь нам нужно проверить условия задачи: никакие две четные и две нечетные цифры не должны стоять рядом. В шестнадцатеричной системе счисления четные числа заканчиваются на 0, 2, 4, 6, 8, а нечетные - на 1, 3, 5, 7, 9.
- Если первая цифра числа - четная, то вторая цифра должна быть нечетной, а третья - четной и четвертая - нечетной. Количество способов выбрать первую цифру: 5 (0, 2, 4, 6, 8). Количество способов выбрать вторую цифру: 5 (1, 3, 5, 7, 9). Третью цифру мы выбрали ранее в пункте 1, поэтому число способов выбрать ее остается тем же - 14. Аналогично, количество способов выбрать четвертую цифру также остается 13. Итак, всего способов выбрать различные цифры с учетом условия равно 5 * 5 * 14 * 13.
- Если первая цифра числа - нечетная, то вторая цифра должна быть четной, а третья - нечетной и четвертая - четной. Количество способов выбрать первую цифру: 5 (1, 3, 5, 7, 9). Количество способов выбрать вторую цифру: 5 (0, 2, 4, 6, 8). Остальные цифры мы выбрали уже ранее, поэтому количество способов выбрать третью цифру остается 14 и четвертую - 13. Итак, всего способов выбрать различные цифры с учетом условия равно 5 * 5 * 14 * 13.
4. Теперь нужно сложить результаты полученных в пунктах 3. Изначально мы рассматривали два случая (когда первая цифра четная и нечетная), поэтому общее количество способов будет равно 5 * 5 * 14 * 13 + 5 * 5 * 14 * 13 = 2 * (5 * 5 * 14 * 13) = 2 * (5 * 5 * 2 * 7 * 13) = 2 * (50 * 182) = 2 * 9100 = 18200.
Таким образом, количество шестнадцатеричных четырехзначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, равно 18200.
1. Найдем количество способов выбрать различные цифры для шестнадцатеричного числа. В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и буквы от A до F, что в сумме дает 16 возможных цифр. Количество способов выбрать первую цифру: 16. Количество способов выбрать вторую цифру: 15 (так как мы уже выбрали одну цифру и осталось только 15 неиспользованных). Аналогично, выбрать третью цифру можно 14 способами, а четвертую - 13 способами. Итак, всего способов выбрать различные цифры для шестнадцатеричного числа равно 16 * 15 * 14 * 13.
2. Далее нужно посчитать количество способов переставить эти цифры. Так как нам изначально дано четыре цифры, а порядок их следования в числе важен, мы можем использовать формулу для перестановок: n!/(n-k)!, где n - количество элементов, а k - количество выбранных элементов. В нашем случае n=4 и k=4, поэтому количество способов переставить цифры равно 4!/(4-4)! = 4!.
3. Теперь нам нужно проверить условия задачи: никакие две четные и две нечетные цифры не должны стоять рядом. В шестнадцатеричной системе счисления четные числа заканчиваются на 0, 2, 4, 6, 8, а нечетные - на 1, 3, 5, 7, 9.
- Если первая цифра числа - четная, то вторая цифра должна быть нечетной, а третья - четной и четвертая - нечетной. Количество способов выбрать первую цифру: 5 (0, 2, 4, 6, 8). Количество способов выбрать вторую цифру: 5 (1, 3, 5, 7, 9). Третью цифру мы выбрали ранее в пункте 1, поэтому число способов выбрать ее остается тем же - 14. Аналогично, количество способов выбрать четвертую цифру также остается 13. Итак, всего способов выбрать различные цифры с учетом условия равно 5 * 5 * 14 * 13.
- Если первая цифра числа - нечетная, то вторая цифра должна быть четной, а третья - нечетной и четвертая - четной. Количество способов выбрать первую цифру: 5 (1, 3, 5, 7, 9). Количество способов выбрать вторую цифру: 5 (0, 2, 4, 6, 8). Остальные цифры мы выбрали уже ранее, поэтому количество способов выбрать третью цифру остается 14 и четвертую - 13. Итак, всего способов выбрать различные цифры с учетом условия равно 5 * 5 * 14 * 13.
4. Теперь нужно сложить результаты полученных в пунктах 3. Изначально мы рассматривали два случая (когда первая цифра четная и нечетная), поэтому общее количество способов будет равно 5 * 5 * 14 * 13 + 5 * 5 * 14 * 13 = 2 * (5 * 5 * 14 * 13) = 2 * (5 * 5 * 2 * 7 * 13) = 2 * (50 * 182) = 2 * 9100 = 18200.
Таким образом, количество шестнадцатеричных четырехзначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, равно 18200.